Dirichlet 前缀和的几种版本

2023-10-29 12:58:10

求
\[ B[i] = \sum_{d|i} A[d] \]
$ n \le 2\times 10^{7} $

看代码：

for( int i = 1 ; i <= en && pri[i] <= n ; ++ i ) {
        for (int j = 1; j * pri[i] <= n; ++j) {
            B[j * pri[i]] += B[j];
        }
    }

为啥这么做它是对的呢？发现每个数字会被它除以所有质因子转移到，并且是按照质因子从小到大来的。

所以这个代码相当于，对所有质因子递归求，然后对对所有质因子搞前缀和。

形式和埃筛一样，复杂度也是 $ O(n\log\log n) $

然后考虑这个
\[ B[i] = \sum_{i|d} A[d] \]
看代码：

for( int i = 1 ; i <= en && pri[i] <= n ; ++ i ) {
        for (int j = n / pri[i]; j; --j) {
            B[j] += B[j * pri[i]];
        }
    }

首先，我们发现最主要的区别在于，我们应当从一个数字本身转移到这个数字除以所有质因子。因为是从大到小转移的，所以也需要逆序枚举 $ j $ 。

最后考虑这个：
\[ A[i] = \sum_{d|i} B[d] \]
也是已知 $ A $ 求 $ B $

这种情况其实就是第一种情况反过来，我们也可以直接把循环顺序和转移方法给反过来

for( int i = en ; i ; -- i ) {
        for (int j = n / pri[i]; j ; -- j) {
            B[j * pri[i]] -= B[j];
        }
    }

第二种情况也可以反过来，就不赘述了。

例题：CF585E

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