CF868F Yet Another Minimization Problem

解法

这个题首先考虑最基础的 DP。

显然，我们可以令 \(f_{i,j}\) 表示，考虑区间 \([1,i]\)，分成 \(j\) 段的最小费用。那么我们最后求得就是 \(f_{n,k}\)。

转移也显然：

\[f_{i,j}=\min\limits_{t=1}^i f_{t-1,j-1}+w_{t,i} \]

其中 \(w_{t,i}\) 表示 \([t,i]\) 区间内的费用。

这个 DP 显然 \(O(k\cdot n^2)\)，要炸。由于 \(k\) 很小，我们考虑优化到 \(O(k\cdot n\log n)\)。CF的少爷机肯定跑的了。

我们考虑用整体二分优化。

首先理解一点，我们令 \(g_{i,j}\) 为 \(f_{i,j}\) 的决策点，即，使得 \(f_{i,j}\) 最小的那个 \(t\)。我们可以理性理解一下，\(j\) 不变，随着 \(i\) 增大，\(g_{i,j}\) 一定单调不严格递增。想要证明的话可以用四边形不等式。这个读者自证不难。

其实我自己证过，是对的。

那我们考虑固定 \(j\)，计算区间 \([l,r]\) 内的 \(f_{i,j}\) 的值。我们现在暴力求解 \(f_{mid,j}\)。为了表达方便，记 \(p=g_{mid,j}\)。由于我们上面提到的那个性质，\(\forall t\in [l,mid-1]\) 的决策点一定在 \([l,p]\) 中，右半边同理。

这样，我们不停递归即可。我们可以发现，最多递归 \(\log n\) 层，每层复杂度是 \(O(n)\)，再算上枚举 \(j\) 的时间，总复杂度为 \(O(k\cdot n\log n)\)。

至于怎么计算 \(w_{i,j}\)，可以类比莫队。

代码

//Don't act like a loser.
//This code is written by huayucaiji
//You can only use the code for studying or finding mistakes
//Or,you'll be punished by Sakyamuni!!!
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int read() {
	char ch=getchar();
	int f=1,x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9') {
		if(ch=='-')
			f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return f*x;
}

const int MAXN=1e5+10,INF=1e14; 

int n,m,nl,nr,tot;
int f[MAXN][22],a[MAXN],sum[MAXN];

int calc(int x) {
	return x*(x-1)/2;
}
void get(int l,int r) {
    //类比莫队
	while(nl<l) {
		tot-=calc(sum[a[nl]]);
		sum[a[nl]]--;
		tot+=calc(sum[a[nl]]);
		nl++;
	}
	while(nl>l) {
		nl--; 
		tot-=calc(sum[a[nl]]);
		sum[a[nl]]++;
		tot+=calc(sum[a[nl]]);
	}
	while(nr<r) {
		nr++; 
		tot-=calc(sum[a[nr]]);
		sum[a[nr]]++;
		tot+=calc(sum[a[nr]]);
	}
	while(nr>r)  {
		tot-=calc(sum[a[nr]]);
		sum[a[nr]]--;
		tot+=calc(sum[a[nr]]);
		nr--;
	}
}

void divide(int l,int r,int lp,int rp,int j) {
    //[lp,rp]为决策点的可能区间范围。
	if(r<l) {
		return ;
	}
	int mark=0;
	int mid=(l+r)>>1;
	int rrpp=min(rp,mid-1);
	f[mid][j]=INF;
	
	for(int p=lp;p<=rrpp;p++) {
		get(p+1,mid);
		//f[mid][j]=min(f[mid][j],f[p][j-1]+tot);
		if(f[mid][j]>f[p][j-1]+tot) {
			f[mid][j]=f[p][j-1]+tot;
			mark=p;
		}
	}
	divide(l,mid-1,lp,mark,j);
	divide(mid+1,r,mark,rp,j);
}

signed main() {
	cin>>n>>m;
	nl=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		a[i]=read();
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		get(1,i);
		f[i][1]=tot;
        //j=1特别计算
	}
	for(int i=2;i<=m;i++) {
		divide(1,n,1,n,i);
	}
	
	cout<<f[n][m]<<endl;
	return 0;
}