OpenGL学习随笔(三)——2022.1.24

        通过上两回的学习,通过两个简单的程序已经对C++/OpenGL程序有了基本的了解,本次要学习了解一些与OpenGL相关的数学基础。

一、3D坐标系统

        3D空间通常用3个坐标轴X、Y、Z来表示,这三个轴可以用两种方式来布置:左手系和右手系。(大拇指指向X轴,食指指向Y轴,中指指向Z轴)。在OpenGL中,大体使用右手系。

OpenGL学习随笔(三)——2022.1.24

(图源自《计算机图形学编程(使用OpenGL和C++)》作者:V.斯科特.戈登 约翰.克莱维吉 (人民邮电出版社)168页)

二、点

        3D空间中点可用(x, y, z)来表示,不过,用齐次坐标会使图形学计算得更加高效。每个点的齐次坐标有四个值,前三个值表示x, y, z,第四个值w总是非零值,通常为1。

用来存储齐次3D坐标的GLSL数据类型使vec4("vec"代表向量,同时也可以用来表示点)。GLM库包含适合在C++/OpenGL应用中创建和存储3元和4元(齐次)点的类,分别叫做vec3和vec4。

三、矩阵

        矩阵是矩形的值阵列,它的元素通常使用下标访问。第一个下标表示行号,第二个下标表示列号,下标从0开始。在3D图形计算中要用到的矩阵大多数为4阶矩阵。

        GLSL语言中的mat4数据类型用来存储4阶矩阵。同样,GLM中有mat4类用以实例化并存储4阶矩阵。

        矩阵的相关运算:

  • 单位矩阵:单位矩阵对角线上的值全为1,其余值为0。任何矩阵乘以单位矩阵都不会发生变化。在GLSL中,调用构造函数glm::mate4 m(1.0f)以在变量m中生成单位矩阵。
  • 矩阵的转置是通过交换矩阵的行和列完成的。GLM库和GLSL库都有转置函数,分别是glm::transpose(mate4)和transpose(mate4)。
  • 矩阵加法是多个矩阵对应位置的元素相加即可。在GLSL中,+运算符在mate4上进行了重载,支持矩阵加法。
  • 矩阵乘法:注意矩阵乘法不满足交换律。矩阵乘法一般可以从左向右或从右向左处理。在3D图形学中,点与矩阵相乘(从右往左)得到点。点用齐次坐标表示为列数为1的矩阵。GLSL和GLM都支持点(vec4)与矩阵相乘用*运算符。OpenGL学习随笔(三)——2022.1.24两个4阶矩阵相乘如下: 矩阵相乘也 经常叫做合并,它可以用于将一系列矩阵变换合并为一个矩阵(源自矩阵的结合律)。GLSL和GLM都支持使用重载的*运算符进行矩阵乘法。OpenGL学习随笔(三)——2022.1.24 (上图源自《计算机图形学编程(使用OpenGL和C++)》作者:V.斯科特.戈登 约翰.克莱维吉 (人民邮电出版社)173页)
  • 矩阵的逆:一个4阶矩阵的逆矩阵依然是4阶矩阵,且矩阵×矩阵的逆为单位矩阵。GLSL和GLM都提供了计算矩阵的逆的函数mate4.inverse()。

四、变换矩阵

        在图形学中,矩阵通常用来进行物体的变换。如矩阵可以用来将物体从一点移动到另一点。接下来接受五个常用的变换矩阵。变换矩阵都是4阶矩阵

  •     平移矩阵:用于将物体从一个位置移动到另一个位置。它包含一个单位矩阵,同时X、Y、Z的移动量在矩阵的最后一列,即A03、A13、A23  。 下图表示点(X,Y,Z,1)与平移矩阵相乘后平移到(X+Tx,Y+Ty,Z+Tz,1)。(从右往左)。GLM中有用于构建与点相乘的平移矩阵。glm::translate(x,y,z)构建平移矩阵(x,y,z)的矩阵。OpenGL学习随笔(三)——2022.1.24

 (上图源自《计算机图形学编程(使用OpenGL和C++)》作者:V.斯科特.戈登 约翰.克莱维吉 (人民邮电出版社)177页)

  • 缩放矩阵:缩放矩阵用于改变物体的大小或者将点向原点相反的方向移动。缩放矩阵是由单位矩阵和位于A00,A11,A22的X,Y,Z缩放因子组成的。如下图。此外缩放还可以用来切换坐标系。从上面两个坐标系中可以看出,左手系和右手系的区别就是Z轴的方向相反。故只需要Sx =1,Sy = 1,Sz = -1即可以实现左手系和右手系的转化。GLM 有用于构建与点相乘的缩放矩阵的函数。glm::scale(x,y,z)构建缩放(x,y,z)的缩放矩阵。OpenGL学习随笔(三)——2022.1.24

 (上图源自《计算机图形学编程(使用OpenGL和C++)》作者:V.斯科特.戈登 约翰.克莱维吉 (人民邮电出版社)179页)

  •     旋转矩阵:旋转会比较复杂,因为3D空间中旋转物体需要指定旋转轴和旋转的角度或弧度。旋转变化有3种,分别绕X,Y,Z轴旋转。矩阵形式如下图:   反向旋转的矩阵恰好等于其转置矩阵。   GLM中构建旋转矩阵用glm::rotate(mate4,α,x,y,z)构建绕X,Y,Z轴旋转α度的旋转矩阵。OpenGL学习随笔(三)——2022.1.24

 (上图源自《计算机图形学编程(使用OpenGL和C++)》作者:V.斯科特.戈登 约翰.克莱维吉 (人民邮电出版社)179页)

  • 投影矩阵
  • LookAt矩阵

 这两个矩阵还需要其他的一些内容,将在下篇中进行介绍。

五、向量

        向量表示大小和方向。向量没有特定的位置。移动向量并不改变它所代表的意义。在3D图形学中,向量一般用空间中的单个点表示,向量的大小是原点到该点的距离,方向则是原点到该点的方向。在我们的应用中,我们简单的将向量V表示为(x,y,z),即向量的起点是原点,终点是点(x,y,z)。在GLSL和GLM中并不区分点和向量,它们所提供了vec3/vec4既能表示点又能表示向量。在GLM和GLSL中的向量操作如下:

        假设向量A(u,v,w)和B(x,y,z)

  • 加减法: A+B = (u+x,v+y,w+z)。glm: vec3+vec3。GLSL: vec3+vec3。减法同理
  • 归一化(变为长度为1):glm: normalize(vec3/vec4)。GLSL:normalize(vec3/vec4)
  • 点积:A·B = ux+vy+wz。glm:dot(vec3/vec4,vec3/vec4)。GLSL:dot(vec3/vec4,vec3/vec4)
  • 叉积:A×B = (vz-wy,wx-uz,uy-vx)。glm:cross(vec3,vec3)。GLSL:cross(vec3,vec3)
  • 求模:glm:magnitude(vec3)。 GLSL:magnitude(vec3)

上一篇:阅读《计算机图形学编程(使用OpenGL和C++)》4


下一篇:opengl 着色器中使用 Gbuffer数据 和一些着色器操作教程 第三章