LeetCode上的各种股票最大收益

2023-09-28 14:10:52

LeetCode上的各种股票最大收益

对于力扣平台上的股票类型的题目：

  • 121 买卖股票的最佳时机

  • 122 买卖股票的最佳时机 II

  • 123 买卖股票的最佳时机 III

  • 124 买卖股票的最佳时机 IV

  • 309 最佳买卖股票时机含冷冻期

  • 714 买卖股票的最佳时机含手续费

  • 剑指 Offer 63. 股票的最大利润

关键是要仔细分析题意，将每天结束后可能存在的状态列出来，并考虑当天与前一天的可能存在的状态转移的关系。另外要注意初始化和空间复杂度的优化。

121. 买卖股票的最佳时机

dp数组含义：

本题在某一天共可能有两种状态：

  • 持有股票
  • 不持有股票

我们构造的 dp 数组的规模为 2 × n 2\times n 2×n，在 C++ 中，即为：vector<<vevtor<int>> dp(prices.size(), vector<int> (2, 0));

  • d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0] dp[i][0] 表示在第 i i i 天结束后，在持有股票的状态下的最大收益
  • d p [ i ] [ 1 ] dp[i][1] dp[i][1] 表示在第 i i i 天结束后，在不持有股票的状态下的最大收益

递推公式：

  • 对于第 i i i 天持有股票时的收益，即 d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0] dp[i][0]，可能由以下情况推导而来：

    • 第 i − 1 i-1 i−1 天是也是持有股票的，即当日未进行任何操作： d p [ i − 1 ] [ 0 ] dp[i-1][0] dp[i−1][0]

    • 第 i − 1 i-1 i−1 天是未持有股票的，即当日购买了股票，由于我们只能进行一次股票买卖操作，因此在购买股票之前的 d p [ i − 1 ] [ 1 ] dp[i-1][1] dp[i−1][1] 一定是 0，因此应当减去当日股票价格： 0 − p r i c e s [ i ] 0-prices[i] 0−prices[i]

    应当取最大值，从而 d p [ i ] [ 0 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 0 ] , − p r i c e s [ i ] ) dp[i][0]=max(dp[i-1][0],-prices[i]) dp[i][0]=max(dp[i−1][0],−prices[i])

  • 对于第 i i i 天未持有股票时的收益，即 d p [ i ] [ 1 ] dp[i][1] dp[i][1]，可能由以下情况推导而来：

    • 第 i − 1 i-1 i−1 天是是持有股票的，即当日将股票卖出，应当 d p [ i − 1 ] [ 0 ] dp[i-1][0] dp[i−1][0] 加上当日股票价格： d p [ i − 1 ] [ 0 ] + p r i c e s [ i ] dp[i-1][0]+prices[i] dp[i−1][0]+prices[i]
    • 第 i − 1 i-1 i−1 天是未持有股票的，即当日无操作： p r i c e s [ i − 1 ] [ 1 ] prices[i-1][1] prices[i−1][1]

    应当取最大值，从而 d p [ i ] [ 1 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 1 ] , d p [ i − 1 ] [ 0 ] + p r i c e s [ i ] ) dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]) dp[i][1]=max(dp[i−1][1],dp[i−1][0]+prices[i])

初始化：

dp 数组中所有项需在 d p [ 0 ] [ 0 ] dp[0][0] dp[0][0]、 d p [ 0 ] [ 1 ] dp[0][1] dp[0][1] 确定的情况下得到。

  • d p [ 0 ] [ 0 ] dp[0][0] dp[0][0] 表示第一天持有股票，即第一天购入，应为 − p r i c e s [ 0 ] -prices[0] −prices[0]
  • d p [ 0 ] [ 1 ] dp[0][1] dp[0][1] 表示第一天未持有股票，应为 0

遍历顺序：

从前向后

代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int lens = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(lens, vector<int> (2));
        dp[0][0] = -prices[0], dp[0][1] = 0;
        for (int i=1; i<lens; ++i) {
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[lens-1][1];
    }
};

空间优化：

很明显，第 i i i 天的情况只依赖于前一天的情况，而与再前面的情况没有关系，因此，我们没有必要维护一整个 dp 数组，而是维护常数变量即可，优化后：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int lens = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(2, vector<int> (2));
        dp[0][0] = -prices[0], dp[0][1] = 0;
        for (int i=1; i<lens; ++i) {
            dp[1][0] = max(dp[0][0], -prices[i]);
            dp[1][1] = max(dp[0][1], dp[0][0] + prices[i]);
            dp[0] = dp[1];
        }
        return dp[1][1];
    }
};

另一种做法：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int ans = 0, prevMin = INT_MAX;
        for (int n: prices) {
            ans = max(ans, n - prevMin);
            prevMin = min(prevMin, n);
        }
        return ans;
    }
};

122. 买卖股票的最佳时机 II

本题与121 题的唯一区别在于可以多次买卖股票，但要注意同时只能持有一只股票

dp数组含义：

  • d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0] dp[i][0] 表示在第 i i i 天结束后，持有股票时的最大收益
  • d p [ i ] [ 1 ] dp[i][1] dp[i][1] 表示在第 i i i 天结束后，不持有股票时的最大收益

递推公式：

注意由于这里与上一题的唯一区别在于允许多次股票买卖，因此递推公式与上面的四种情况基本相同，唯一一点在于由于我们可以进行多次买卖，所以在某次购买股票之前的未持有股票的收益不一定是 0 了（我们可能在这次操作之前已经通过几次操作收获了一些利润）。

即对于 d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0] dp[i][0] 在前一日不持有股票的情况从 0 − p r i c e s [ i ] 0-prices[i] 0−prices[i] 变为了 d p [ i − 1 ] [ 1 ] − p r i c e s [ i ] dp[i-1][1]-prices[i] dp[i−1][1]−prices[i]，从而 d p [ i ] [ 0 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 0 ] , d p [ i − 1 ] [ 1 ] − p r i c e s [ i ] ) dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]) dp[i][0]=max(dp[i−1][0],dp[i−1][1]−prices[i])

初始化、遍历顺序与前题类似。

代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int lens = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(lens, vector<int> (2));
        dp[0][0] = -prices[0], dp[0][1] = 0;
        for (int i=1; i<lens; ++i) {
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[lens-1][1];
    }
};

注意代码中的唯一区别在于：

dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]);

原因上面已经解释过。

空间优化的实现与上面也类似，这里就不贴了。

另一种写法：

本题有另一种做法，由于我们可以进行无限次交易且当日即可以买入又可以卖出，所以考虑：

[7, 1, 5, 6] 第二天买入，第四天卖出，收益最大（6-1），所以一般人可能会想，怎么判断不是第三天就卖出了呢? 这里就把问题复杂化了，根据题目的意思，当天卖出以后，当天还可以买入，所以其实可以第三天卖出，第三天买入，第四天又卖出（（5-1）+ （6-5） === 6 - 1）。所以算法可以直接简化为只要今天比昨天大，就卖出。

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int ans = 0;
        for (int i=1; i<prices.size(); ++i) {
            int profit = prices[i] - prices[i-1];
            ans = max(ans, ans + profit);
        }
        return ans;
    }
};

123. 买卖股票的最佳时机 III

本题相较于前面两题要复杂不少，关键是最多两次交易，即有可能可以是 0，1，2 次交易，我们需要列举处理的情况多了不少。

dp数组的定义：

本题中，我们一共要考虑每一天的五种状态：

  • 尚未进行操作
  • 第一次买入后
  • 第一次卖出后
  • 第二次买入后
  • 第二次卖出后

注意我们这里要强调各个状态是 买入/卖出 后 ，即不一定是当日买入/卖出，可能是 i − 1 i-1 i−1， i − 2 i-2 i−2 …日进行的操作，都归为该状态。并且，注意到，这些状态是有序的，即一定是一次经历到的。

由此，我们 dp 数组的含义为： d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示，第 i i i 天处于状态 j j j 时的最大收益。

递推公式：

  • 对于第 i i i 日结束后。处于第一次买入后状态，即 d p [ i ] [ 1 ] dp[i][1] dp[i][1]，可能由以下情况推导而来：

    • 前面已经买入，当日未进行操作： d p [ i − 1 ] [ 1 ] dp[i-1][1] dp[i−1][1]
    • 当日买入： d p [ i − 1 ] [ 0 ] − p r i c e s [ i ] dp[i-1][0]-prices[i] dp[i−1][0]−prices[i]

    取最大值，则有： d p [ i ] [ 1 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 1 ] , d p [ i − 1 ] [ 0 ] − p r i c e s [ i ] ) dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]) dp[i][1]=max(dp[i−1][1],dp[i−1][0]−prices[i])

  • 对于第 i i i 日处于第一次卖出后，即 d p [ i ] [ 2 ] dp[i][2] dp[i][2]，可能由以下情况推导而来：

    • 前面已经卖出，当日未进行任何操作： d p [ i − 1 ] [ 2 ] dp[i-1][2] dp[i−1][2]
    • 当日卖出： d p [ i − 1 ] [ 1 ] + p r i c e s [ i ] dp[i-1][1]+prices[i] dp[i−1][1]+prices[i]

    则： d p [ i ] [ 2 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 2 ] , d p [ i − 1 ] [ 1 ] + p r i c e s [ i ] ) dp[i][2]=max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]) dp[i][2]=max(dp[i−1][2],dp[i−1][1]+prices[i])

  • 同理， d p [ i ] [ 3 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 3 ] , d p [ i − 1 ] [ 2 ] − p r i c e s [ i ] ) dp[i][3]=max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]) dp[i][3]=max(dp[i−1][3],dp[i−1][2]−prices[i])

  • 同理， d p [ i ] [ 4 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 4 ] , d p [ i − 1 ] [ 3 ] + p r i c e s [ i ] ) dp[i][4]=max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]) dp[i][4]=max(dp[i−1][4],dp[i−1][3]+prices[i])

代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int lens = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(lens, vector<int> (5));
        dp[0][1] = -prices[0], dp[0][3] = -prices[0];
        for (int i=1; i<lens; ++i) {
            dp[i][0] = dp[i-1][0];
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = max(dp[i-1][4], dp[i-1][3] + prices[i]);
        }
        return dp[lens - 1][4];
    }
};

优化代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int fstBuy = INT_MIN, fstSell = 0;
        int secBuy = INT_MIN, secSell = 0;
        for (int p: prices) {
            fstBuy = max(fstBuy, -p);
            fstSell = max(fstSell, fstBuy + p);
            secBuy = max(secBuy, fstSell - p);
            secSell = max(secSell, secBuy + p);
        }
        return secSell;
    }
};

188. 买卖股票的最佳时机 IV

上一题的一般化，分好奇偶即可：

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        if (prices.empty()) return 0;
        int lens = prices.size();
        int wide = 2 * k + 1;
        vector<vector<int>> dp(lens, vector<int> (wide, 0));
        for (int j=0; j<wide; ++j) if (j % 2 == 1) dp[0][j] = -prices[0];
        for (int i=1; i<lens; ++i) {
            dp[i][0] = dp[i-1][0];
            for (int j=1; j<wide; ++j) {
                if (j % 2 == 1) dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] - prices[i]);
                else if (j % 2 == 0) dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[lens - 1][wide - 1];
    }
};

309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

dp数组含义：

本题中每天可能的状态有三种：

  • 持有股票
  • 不持有股票，今天卖出，后一天为冷冻期
  • 不持有股票，非今天卖出，后一天不为冷冻期

d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示第 i i i 天结束后，在第 j j j 中状态下的最大收益

递推公式：

  • 当日结束后为持有股票状态时，即 d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0] dp[i][0] ，可能由以下情况推导而来：

    • 当日买入股票，今天不能是冷冻期， d p [ i − 1 ] [ 2 ] − p r i c e s [ i ] dp[i-1][2]-prices[i] dp[i−1][2]−prices[i]
    • 之前就已经买入了股票，当日未进行操作： d p [ i − 1 ] [ 0 ] dp[i-1][0] dp[i−1][0]

    则， d p [ i ] [ 0 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 0 ] , d p [ i − 1 ] [ 1 ] − p r i c e s [ i ] , d p [ i − 1 ] [ 2 ] − p r i c e s [ i ] ) dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i],dp[i-1][2]-prices[i]) dp[i][0]=max(dp[i−1][0],dp[i−1][1]−prices[i],dp[i−1][2]−prices[i])

  • 当日卖出，即 d p [ i ] [ 1 ] dp[i][1] dp[i][1]

    • 今天卖出，前一天必为持股状态， d p [ i − 1 ] [ 0 ] + p r i c e s [ i ] dp[i-1][0]+prices[i] dp[i−1][0]+prices[i]

    则， d p [ i ] [ 1 ] = d p [ i − 1 ] [ 0 ] + p r i c e s [ i ] dp[i][1]=dp[i-1][0]+prices[i] dp[i][1]=dp[i−1][0]+prices[i]

  • 非当日卖出，即 d p [ i ] [ 2 ] dp[i][2] dp[i][2]，可能由以下情况推导而来：

    • 前一日卖出，今日冷冻期， d p [ i − 1 ] [ 1 ] dp[i-1][1] dp[i−1][1]
    • 非前一日卖出，今日非冷冻期： d p [ i − 1 ] [ 2 ] dp[i-1][2] dp[i−1][2]

    则 d p [ i ] [ 2 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 1 ] , d p [ i − 1 ] [ 2 ] ) dp[i][2]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][2]) dp[i][2]=max(dp[i−1][1],dp[i−1][2])

代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int lens = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(lens, vector<int> (3, 0));
        dp[0][0] = -prices[0];
        for (int i=1; i<lens; ++i) {
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][2] - prices[i]);
            dp[i][1] = dp[i-1][0] + prices[i];
            dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]);
        }
        return max(dp[lens - 1][1], dp[lens - 1][2]);
    }
};

714. 买卖股票的最佳时机含手续费

就加个手续费，和 122 区别不大。

dp数组含义：

本题中每一天结束后有两种状态：持有股票和不持有股票

  • d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0] dp[i][0] 表示第 i i i 天结束后处于持股状态时的最大收益
  • d p [ i ] [ 1 ] dp[i][1] dp[i][1] 表示第 i i i 天结束后处于未持股状态时的最大收益

递推公式：

  • 对于第 i i i 天结束后，处于持股状态，即 d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0] dp[i][0]，可能由两种状态推导得到：

    • 前面买入，当日未进行操作： d p [ i − 1 ] [ 0 ] dp[i-1][0] dp[i−1][0]
    • 当日买入，并支付手续费 d p [ i − 1 ] [ 1 ] − p r i c e s [ i ] − f e e dp[i-1][1]-prices[i]-fee dp[i−1][1]−prices[i]−fee

    则： d p [ i ] [ 0 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 0 ] , d p [ i − 1 ] [ 1 ] − p r i c e s [ i ] − f e e ) dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]-fee) dp[i][0]=max(dp[i−1][0],dp[i−1][1]−prices[i]−fee)

  • 对于第 i i i 天结束后，处于未持股状态，即 d p [ i ] [ 1 ] dp[i][1] dp[i][1]，可能由两种状态推导得到：

    • 一直未买入或前面已卖出，当日未进行操作： d p [ i − 1 ] [ 1 ] dp[i-1][1] dp[i−1][1]
    • 当日卖： d p [ i − 1 ] [ 0 ] + p r i c e s [ i ] dp[i-1][0]+prices[i] dp[i−1][0]+prices[i]

    则： d p [ i ] [ 1 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 1 ] , d p [ i − 1 ] [ 0 ] + p r i c e s [ i ] ) dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]) dp[i][1]=max(dp[i−1][1],dp[i−1][0]+prices[i])

代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        int lens = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(lens, vector<int> (2));
        dp[0][0] = -prices[0] - fee;
        for (int i=1; i<lens; ++i) {
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i] - fee);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[lens - 1][1];
    }
};
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