目录

• • 乘法公式与因式分解
  • 比例 ( a b \frac{a}{b} ba​ = c d \frac{c}{d} dc​)
  • 二次方程 ax^2^ + bx + c = 0
  • 对数
  • 数列
  • 排列组合与二项式定理
  • 平面三角

乘法公式与因式分解

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

a² - b² = (a - b)(a + b)

(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

aⁿ - bⁿ = (a - b)(a^n-1 + a^n-2b + a^n-3b² + … + ab^n-2+ b^n-1)

比例 ( a b \frac{a}{b} ba​ = c d \frac{c}{d} dc​)

合比定理 a + b b \frac{a + b}{b} ba+b​ = c + d d \frac{c + d}{d} dc+d​

分比定理 a − b b \frac{a - b}{b} ba−b​ = c − d d \frac{c - d}{d} dc−d​

合分比定理 a + b a − b \frac{a + b}{a - b} a−ba+b​ = c + d c − d \frac{c + d}{c - d} c−dc+d​

二次方程 ax² + bx + c = 0

根 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 2a−b±b2−4ac ​​

韦达定理：x₁ + x₂ = - b a \frac{b}{a} ab​，x₁x₂ = c a \frac{c}{a} ac​

判别式△ = b² - 4ac
△ > 0，方程有两个不等实根
△ = 0，方程有两个相等实根
△ < 0，方程有两个共轭虚根

对数

换底公式log_aM = log_bM / log_ba

log_a1 = 0
log_aa = 1

数列

等差数列，设a₁为首项，a_n为通项，d为公差，S_n为n项和，则：

a_n = a₁ + (n - 1)d
S_n = a   1   + a   n   2 \frac{a~1~ + a~n~}{2} 2a 1 +a n ​n
设a, b, c成等差数列，则等差中项b = 1 2 \frac{1}{2} 21​(a + c)

等比数列，设a₁为首项，q为公比，a_n为通项，则：

通项a_n = a₁q^n-1
前n项和S_n = a 1   ( 1 − q n ) 1 − q \frac{a1~(1 - q^n)}{1 - q} 1−qa1 (1−qn)​ = a 1   − a n   q 1 − q \frac{a1~ - an~q}{1 - q} 1−qa1 −an q​

常用的几种数列的和

1 + 2 + 3 + … + n = 1 2 \frac{1}{2} 21​n(n - 1)

1² + 2² + 3² + … + n² = 1 6 \frac{1}{6} 61​n(n + 1)(2n + 1)

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = [ 1 2 \frac{1}{2} 21​n(n + 1)]²

1 * 2 + 2 * 3 + … + n(n+1) = 1 3 \frac{1}{3} 31​n(n + 1)(n + 2)

1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + … + n(n + 1)(n + 2) = 1 4 \frac{1}{4} 41​n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

排列组合与二项式定理

排列：P_n^m = n(n - 1)(n - 2)…[n - (m - 1)]

全排列：P_nⁿ = n(n - 1)…3 * 2 * 1 = n!

组合：C_n^m = n ( n − 1 ) . . . ( n − m + 1 ) m ! \frac{n(n - 1)...(n - m + 1)}{m!} m!n(n−1)...(n−m+1)​ = n ! m ! ( n − m ) ! \frac{n!}{m!(n - m)!} m!(n−m)!n!​

组合的性质：

C_n^m = C_n^n-m
C_n^m = C_n-1^m + C_n-1^m-1

二项式定理：

(a + b)ⁿ = aⁿ + na^n-1b + n ( n − 1 ) 2 ! \frac{n(n - 1)}{2!} 2!n(n−1)​a^n-2b² + … + n ( n − 1 ) . . . ( n − ( k − 1 ) ) k ! \frac{n(n - 1)...(n - (k - 1))}{k!} k!n(n−1)...(n−(k−1))​a^n-kb^k + … + bⁿ

平面三角

三角函数间的关系：

sinα cscα = 1

cosα secα = 1

tanα cotα = 1

sin²α + cos²α = 1

1 + tan²α = sec²α

1 + cot²α = csc²α

tanα = s i n α c o s α \frac{sinα}{cosα} cosαsinα​

cotα = c o s α s i n α \frac{cosα}{sinα} sinαcosα​

倍角三角函数：

sin2α = 2 sinα cosα

cos2α = cos²α - sin²α = 1 - 2sin²α = 2cos²α - 1

tan2α = 2 t a n α 1 − t a n 2 α \frac{2tanα}{1 - tan^2α} 1−tan2α2tanα​

cot2α = 1 − c o t 2 α 2 c o t α \frac{1 - cot^2α}{2cotα} 2cotα1−cot2α​

sin²α = 1 − c o s 2 α 2 \frac{1 - cos2α}{2} 21−cos2α​

cos²α = 1 + c o s 2 α 2 \frac{1 + cos2α}{2} 21+cos2α​

三角函数的和差化积与积化和差公式：

sinα + sinβ = 2sin α + β 2 \frac{α + β}{2} 2α+β​cos α − β 2 \frac{α - β}{2} 2α−β​

sinα - sinβ = 2cos α + β 2 \frac{α + β}{2} 2α+β​sin α − β 2 \frac{α - β}{2} 2α−β​

cosα + cosβ = 2cos α + β 2 \frac{α + β}{2} 2α+β​cos α − β 2 \frac{α - β}{2} 2α−β​

cosα - cosβ = -2sin α + β 2 \frac{α + β}{2} 2α+β​sin α − β 2 \frac{α - β}{2} 2α−β​

sinα cosβ = 1 2 \frac{1}{2} 21​[sin(α + β) + sin(α - β)]

cosα cosβ = 1 2 \frac{1}{2} 21​[cos(α + β) + cos(α - β)]

cosα sinβ = 1 2 \frac{1}{2} 21​[sin(α + β) - sin(α - β)]

sinα sinβ = 1 2 \frac{1}{2} 21​[cos(α + β) - cos(α - β)]

正弦定理：

a s i n A \frac{a}{sinA} sinAa​ = b s i n B \frac{b}{sinB} sinBb​ = c s i n C \frac{c}{sinC} sinCc​ = 2R，R为外接圆半径

余弦定理：

a² = b² + c² - 2bc cosA
b² = c² + a² - 2ca cosB
c² = a² + b² - 2ab cosC

反三角函数的恒等式：

arcsinx + arccosx = π 2 \frac{π}{2} 2π​

arctanx + arccotx = π 2 \frac{π}{2} 2π​