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解题思路

在图上很难做这种构造题，所以一种常用的方法是求出其生成树。

在生成树上做就容易很多。

于是这个题就按照 dfs 序建立一颗生成树，记录下每个节点的返祖边。

于是第一问可以根据树的深度判断是否符合要求，符合的话直接输出。

若没有，则易证第二问一定成立：

因为第一问不成立，所以叶子节点数一定 \(\geqslant k\)，而题中保证每个节点的度数 \(\geqslant3\)，也就暗示了叶子节点都有 \(\geqslant2\) 条返祖边。

所以一定能从每个叶子节点找到一个符合要求的环。

假设叶子节点 k 的两个返祖祖先为 x 和 y，则通过作差法易证：

\((dep[u]-dep[x]+1)\) 和 \((dep[u]-dep[y]+1)\) 和 \((dep[y]-dep[x]+2)\) 中至少有一个不是 \(3\) 的倍数。

判断一下输出即可。

注意

数组一定要开够：大小为 m 的两倍！否则会在第四个点TLE。

AC代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=5e5+5;
int n,m,k,cnt,cnt_leaf,leaf[maxn],p[maxn],dep[maxn],fa[maxn],ancestor[maxn][105];
int maxdep,ed;
template <typename T>
inline void read(T &x)
{
    char c;
    x=0;
    int fu=1;
    c=getchar();
    while(c>57||c<48){
        if(c==45){
        	fu=-1;
        }
        c=getchar();
    }
    while(c<=57&&c>=48)
    {
        x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
        c=getchar();
    }
    x*=fu;
}
struct node{
	int v,next;
}e[maxn*2];
void insert(int u,int v){
	cnt++;
	e[cnt].v=v;
	e[cnt].next=p[u];
	p[u]=cnt;
}
void dfs(int u,int f,int deep){
	dep[u]=deep;
	if(dep[u]>maxdep){
		maxdep=dep[u];
		ed=u;
	}
	fa[u]=f;
	leaf[++cnt_leaf]=u;
	for(int i=p[u];i!=-1;i=e[i].next){
		int v=e[i].v;
		if(v==f) continue;
		if(dep[v]){
			ancestor[u][++ancestor[u][0]%100]=v;
			continue;
		}
		if(leaf[cnt_leaf]==u) cnt_leaf--;
		dfs(v,u,deep+1);
	}
}
void print(int u,int to){
	printf("%d ",to);
	if(u==to) return;
	print(u,fa[to]);
}
int main(){
	memset(p,-1,sizeof(p));
	read(n);
	read(m);
	read(k);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		read(u);
		read(v);
		insert(u,v);
		insert(v,u);
	} 
	dfs(1,-1,1);
	if(maxdep>=(n-1)/k+1){
		puts("PATH");
		printf("%d\n",maxdep);
		while(ed!=-1){
			printf("%d ",ed);
			ed=fa[ed];
		}
		return 0;
	}
	puts("CYCLES");
	for(int i=1;i<=k;i++){
		int u=leaf[i],x=ancestor[u][1],y=ancestor[u][2];
		if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
		if((dep[u]-dep[x]+1)%3!=0){
			printf("%d\n",dep[u]-dep[x]+1);
			print(x,u);
			puts("");
		}else{
			if((dep[u]-dep[y]+1)%3!=0){
				printf("%d\n",dep[u]-dep[y]+1);
				print(y,u);
				puts("");
			}else{
				printf("%d\n%d ",dep[y]-dep[x]+2,u);
				print(x,y);
				puts("");
			}
		}
	}
    return 0;
}