原文链接：http://tecdat.cn/?p=20360
本文将说明金融数学中的R 语言优化投资组合，因子模型的实现和使用。
具有单一市场因素的宏观经济因素模型
我们将从一个包含单个已知因子（即市场指数）的简单示例开始。该模型为
其中显式因子ft为S＆P 500指数。我们将做一个简单的最小二乘（LS）回归来估计截距α和加载β：
大多数代码行用于准备数据，而不是执行因子建模。让我们开始准备数据：
# 设置开始结束日期和股票名称列表
begin_date <- "2016-01-01"
end_date <- "2017-12-31"
# 从YahooFinance下载数据
data_set <- xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
from = begin_date, to = end_date,
head(data_set)
#> AAPL AMD ADI ABBV AEZS A APD AA CF
#> 2016-01-04 98.74225 2.77 49.99239 49.46063 4.40 39.35598 107.89010 23.00764 35.13227
#> 2016-01-05 96.26781 2.75 49.62508 49.25457 4.21 39.22057 105.96097 21.96506 34.03059
#> 2016-01-06 94.38389 2.51 47.51298 49.26315 3.64 39.39467 103.38042 20.40121 31.08988
#> 2016-01-07 90.40047 2.28 46.30082 49.11721 3.29 37.72138 99.91463 19.59558 29.61520
#> 2016-01-08 90.87848 2.14 45.89677 47.77789 3.29 37.32482 99.39687 19.12169 29.33761
#> 2016-01-11 92.35001 2.34 46.98954 46.25827 3.13 36.69613 99.78938 18.95583 28.14919
head(SP500_index)
#> index
#> 2016-01-04 2012.66
#> 2016-01-05 2016.71
#> 2016-01-06 1990.26
#> 2016-01-07 1943.09
#> 2016-01-08 1922.03
#> 2016-01-11 1923.67
plot(SP500_index)
# 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子
X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
N <- ncol(X) # 股票数量
T <- nrow(X) # 天数
现在我们准备进行因子模型拟合。LS拟合很容易在R中实现，如下所示：
beta <- cov(X,f)/as.numeric(var(f))
alpha <- colMeans(X) - beta*colMeans(f)
sigma2 <- rep(NA, N)
print(alpha)
#> index
#> AAPL 0.0003999086
#> AMD 0.0013825599
#> ADI 0.0003609968
#> ABBV 0.0006684632
#> AEZS -0.0022091301
#> A 0.0002810616
#> APD 0.0001786375
#> AA 0.0006429140
#> CF -0.0006029705
print(beta)
#> index
#> AAPL 1.0957919
#> AMD 2.1738304
#> ADI 1.2683047
#> ABBV 0.9022748
#> AEZS 1.7115761
#> A 1.3277212
#> APD 1.0239453
#> AA 1.8593524
#> CF 1.5702493
或者，我们可以使用矩阵表示法进行拟合，我们定义
和扩展因子
。然后最小化
t(X) %*% F_ %*% solve(t(F_) %*% F_)
#> alpha beta
#> AAPL 0.0003999086 1.0957919
#> AMD 0.0013825599 2.1738304
#> ADI 0.0003609968 1.2683047
#> ABBV 0.0006684632 0.9022748
#> AEZS -0.0022091301 1.7115761
#> A 0.0002810616 1.3277212
#> APD 0.0001786375 1.0239453
#> AA 0.0006429140 1.8593524
#> CF -0.0006029705 1.5702493
E <- xts(t(t(X) - Gamma %*% t(F_)), index(X)) # 残差
另外，我们可以简单地使用R为我们完成工作：
cbind(alpha = factor_model$alpha, beta = factor_model$beta)
#> alpha index
#> AAPL 0.0003999086 1.0957919
#> AMD 0.0013825599 2.1738304
#> ADI 0.0003609968 1.2683047
#> ABBV 0.0006684632 0.9022748
#> AEZS -0.0022091301 1.7115761
#> A 0.0002810616 1.3277212
#> APD 0.0001786375 1.0239453
#> AA 0.0006429140 1.8593524
#> CF -0.0006029705 1.5702493
可视化协方差矩阵
有趣的是，可视化对数收益率[算术处理误差]以及残差Ψ的估计协方差矩阵。让我们从对数收益率的协方差矩阵开始：
main = "单因子模型对数收益的协方差矩阵")
我们可以观察到所有股票都是高度相关的，这是市场因素的影响。为了检查股票相关关系，我们绘制相关图：
plot(cov2cor(Psi),
main = "残差协方差矩阵")
cbind(stock_namelist, sector_namelist) # 股票的行业
#> stock_namelist sector_namelist
#> [1,] "AAPL" "Information Technology"
#> [2,] "AMD" "Information Technology"
#> [3,] "ADI" "Information Technology"
#> [4,] "ABBV" "Health Care"
#> [5,] "AEZS" "Health Care"
#> [6,] "A" "Health Care"
#> [7,] "APD" "Materials"
#> [8,] "AA" "Materials"
#> [9,] "CF" "Materials"
有趣的是，我们可以观察到对Ψ执行的自动聚类可以正确识别股票的行业。
评估投资资金
在此示例中，我们将基于因子模型评估几种投资基金的绩效。我们将标准普尔500指数作为明确的市场因素，并假设无风险收益为零 rf = 0。特别是，我们考虑六种交易所买卖基金（ETF）：
我们首先加载数据：
# 设置开始结束日期和股票名称列表
begin_date <- "2016-10-01"
end_date <- "2017-06-30"
# 从YahooFinance下载数据
data_set <- xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
head(data_set)
#> SPY XIVH SPHB SPLV USMV JKD
#> 2016-10-03 203.6610 29.400 31.38322 38.55683 42.88382 119.8765
#> 2016-10-04 202.6228 30.160 31.29729 38.10687 42.46553 119.4081
#> 2016-10-05 203.5195 30.160 31.89880 38.02249 42.37048 119.9421
#> 2016-10-06 203.6610 30.160 31.83196 38.08813 42.39899 120.0826
#> 2016-10-07 202.9626 30.670 31.58372 37.98500 42.35146 119.8296
#> 2016-10-10 204.0197 31.394 31.87970 38.18187 42.56060 120.5978
head(SP500_index)
#> index
#> 2016-10-03 2161.20
#> 2016-10-04 2150.49
#> 2016-10-05 2159.73
#> 2016-10-06 2160.77
#> 2016-10-07 2153.74
#> 2016-10-10 2163.66
# 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子
X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
N <- ncol(X) # 股票数量
T <- nrow(X) # 天数
现在我们可以计算所有ETF的alpha和beta：
#> alpha beta
#> SPY 7.142225e-05 1.0071424
#> XIVH 1.810392e-03 2.4971086
#> SPHB -2.422107e-04 1.5613533
#> SPLV 1.070918e-04 0.6777149
#> USMV 1.166177e-04 0.6511667
#> JKD 2.569578e-04 0.8883843
现在可以进行一些观察：
- SPY是S＆P 500的ETF，如预期的那样，其alpha值几乎为零，beta值几乎为1： α= 7.142211×10-5和 β= 1.0071423。
- XIVH是具有高alpha值的ETF，计算出的alpha值是ETF中最高的（高1-2个数量级）： α= 1.810392×10-3。
- SPHB是一种ETF，据推测具有很高的beta，而计算出的beta却是最高的，但不是最高的：β= 1.5613531。有趣的是，计算出的alpha为负，因此，该ETF应谨慎。
- SPLV是降低波动性的ETF，实际上，计算得出的beta偏低：β= 0.6777072。
- USMV还是降低波动性的ETF，实际上，计算出的beta是最低的：β= 0.6511671。
- JKD显示出很好的折衷。
我们可以使用一些可视化：
barplot(rev(alpha), horiz = TRUE, main = "alph我们还可以使用例如Sharpe比率，以更系统的比较不同的ETF。回顾一种资产和一个因素的因子模型
我们获得
夏普比率如下：
假设。因此，基于Sharpe比率对不同资产进行排名的一种方法是根据α/β比率对它们进行排名：
print(ranking)
#> alpha/beta SR alpha beta
#> XIVH 7.249952e-04 0.13919483 1.810392e-03 2.4971086
#> JKD 2.892417e-04 0.17682677 2.569578e-04 0.8883843
#> USMV 1.790904e-04 0.12280053 1.166177e-04 0.6511667
#> SPLV 1.580189e-04 0.10887903 1.070918e-04 0.6777149
#> SPY 7.091574e-05 0.14170591 7.142225e-05 1.0071424
#> SPHB -1.551287e-04 0.07401566 -2.422107e-04 1.5613533
可以看到：
- 就α/β而言，XIVH最佳（α最大），而SPHB最差（α负）。
- 就夏普比率（更确切地说，是信息比率，因为我们忽略了无风险利率）而言，JDK是最好的，其次是SPY。这证实了大多数投资基金的表现不超过市场的观点。
- 显然，无论以哪种衡量标准，SPHB都是最差的：负α，负β比率和Sharpe比率。
- JDK之所以能够取得最佳性能，是因为它的alpha值很好（尽管不是最好的），而同时具有0.88的中等beta值。
- XIVH和SPHB有大量不同的beta，因此在市场上具有极端敞口。
- USMV在市场上的曝光率最小，有可接受的alpha值，并且其Sharpe比率接近第二和第三高的位置。
Fama-French三因子模型
该示例将说明使用标准普尔500指数中的九种股票的Fama-French三因子模型。让我们从加载数据开始：
# 设置开始结束日期和股票名称列表
begin_date <- "2013-01-01"
end_date <- "2017-08-31"
# 从YahooFinance下载数据
data_set <- xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
# 下载Fama-French因子
head(fama_lib)
#> Mkt.RF SMB HML
#> 1926-07-01 0.10 -0.24 -0.28
#> 1926-07-02 0.45 -0.32 -0.08
#> 1926-07-06 0.17 0.27 -0.35
#> 1926-07-07 0.09 -0.59 0.03
#> 1926-07-08 0.21 -0.36 0.15
#> 1926-07-09 -0.71 0.44 0.56
tail(fama_lib)
#> Mkt.RF SMB HML
#> 2017-11-22 -0.05 0.10 -0.04
#> 2017-11-24 0.21 0.02 -0.44
#> 2017-11-27 -0.06 -0.36 0.03
#> 2017-11-28 1.06 0.38 0.84
#> 2017-11-29 0.02 0.04 1.45
#> 2017-11-30 0.82 -0.56 -0.50
# 计算股票的对数收益率和Fama-French因子
X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
N <- ncol(X) #股票数量
现在我们在矩阵F中具有三个因子，并希望拟合模型，其中现在的载荷是一个beta矩阵：
。我们可以做最小二乘拟合，最小化
。更方便地，我们定义
和扩展因子
。然后可以将LS公式写为最小化
print(Gamma)
#> alpha b1 b2 b3
#> AAPL 1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858
#> AMD 6.181760e-04 1.4062105 0.80738336 -0.07240117
#> ADI -2.285017e-05 1.2124008 0.09025928 -0.20739271
#> ABBV 1.621380e-04 1.0582340 0.02833584 -0.72152627
#> AEZS -4.513235e-03 0.6989534 1.31318108 -0.25160182
#> A 1.146100e-05 1.2181429 0.10370898 -0.20487290
#> APD 6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061 0.11060938
#> AA -4.587722e-05 1.3391852 0.62590136 0.99858692
#> CF -5.777426e-04 1.0387867 0.48430007 0.82014523
另外，我们可以使用R完成：
#> alpha Mkt.RF SMB HML
#> AAPL 1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858
#> AMD 6.181760e-04 1.4062105 0.80738336 -0.07240117
#> ADI -2.285017e-05 1.2124008 0.09025928 -0.20739271
#> ABBV 1.621380e-04 1.0582340 0.02833584 -0.72152627
#> AEZS -4.513235e-03 0.6989534 1.31318108 -0.25160182
#> A 1.146100e-05 1.2181429 0.10370898 -0.20487290
#> APD 6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061 0.11060938
#> AA -4.587722e-05 1.3391852 0.62590136 0.99858692
#> CF -5.777426e-04 1.0387867 0.48430007 0.82014523
统计因子模型
现在让我们考虑统计因子模型或隐式因子模型，其中因子和载荷均不可用。调用具有 K因子的模型 XT =α1T+ BFT + ET的主成分方法：
- PCA：
- 样本均值：
- 矩阵：
- 样本协方差矩阵：
- 特征分解：
- 样本均值：
- 估计：
-
- 更新特征分解：
- 重复步骤2-3，直到收敛为止。
#> alpha
#> AAPL 0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226
#> AMD 0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146 0.0114549515
#> ADI 0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139
#> ABBV 0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810
#> AEZS -0.0041576357 0.0769496344 0.002935950 0.0006249473
#> A 0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654
#> APD 0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394
#> AA 0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957
#> CF -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661
同样，我们可以使用R完成工作：
#> alpha factor1 factor2 factor3
#> AAPL 0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226
#> AMD 0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146 0.0114549515
#> ADI 0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139
#> ABBV 0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810
#> AEZS -0.0041576357 0.0769496344 0.002935950 0.0006249473
#> A 0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654
#> APD 0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394
#> AA 0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957
#> CF -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661
通过不同因子模型进行协方差矩阵估计的最终比较
我们最终将比较以下不同的因子模型：
- 样本协方差矩阵
- 宏观经济一因素模型
- 基本的三因素Fama-French模型
- 统计因素模型
我们在训练阶段估计模型，然后将估计的协方差矩阵与测试阶段的样本协方差矩阵进行比较。估计误差将根据PRIAL（平均损失提高百分比）进行评估：
加载训练和测试集：
# 设置开始结束日期和股票名称列表
begin_date <- "2013-01-01"
end_date <- "2015-12-31"
# 准备股票数据
data_set <- xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
# Fama-French 因子
mydata <- mydata[-nrow(mydata),
# 准备指数
f_SP500 <- diff(log(SP500_index), na.pad = FALSE)
# 将数据拆分为训练数据和测试数据
T_trn <- round(0.45*T)
X_trn <- X[1:T_trn, ]
X_tst <- X[(T_trn+1):T, ]
现在让我们用训练数据估算不同的因子模型：
# 样本协方差矩阵
Sigma_SCM <- cov(X_trn)
# 单因素模型
Gamma <- t(solve(t(F_) %*% F_, t(F_) %*% X_trn))
E <- xts(t(t(X_trn) - Gamma %*% t(F_)), index(X_trn))
# Fama-French三因子模型
Sigma_FamaFrench <- B %*% cov(F_FamaFrench_trn) %*% t(B) + diag(diag(Psi))
# 统计单因子模型
while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {
B <- eigSigma$vectors[, 1:K, drop = FALSE] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)
# 统计三因子模型
K <- 3
while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {
B <- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)
Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))
Sigma_PCA3 <- Sigma
# 统计五因子模型
K <- 5
eigSigma <- eigen(Sigma)
while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {
B <- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)
Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))
最后，让我们比较测试数据中的不同估计：
Sigma_true <- cov(X_tst)
barplot(error, main = "协方差矩阵估计误差",
PRIAL <- 100*(ref - error^2)/ref
barplot(PRIAL, main = "协方差矩阵估计的先验方法",
最终可以看到使用因子模型进行协方差矩阵估计会有所帮助。
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