2022年的第一篇博客，首先祝大家新年快乐！
提示：本篇博客主要集中在对MPC的理解以及应用。这篇博客可以作为你对MPC控制器深入研究的一个开始，起到抛砖引玉，带你快速了解其原理的作用。
这篇博客将介绍一下模型预测控制器(MPC)的公式、推导以及C++代码的实现。
主要内容如下：
- 从一个简单的线性系统开始，对MPC控制器公式进行推导；
- 根据推导出来的结论，对一个具体的系统进行控制，使用C++对MPC进行实现；
- 通过实验找到参数对该系统的影响。
1. 模型预测控制(MPC)公式推导
(1). 系统方程建模
假设，我们有以下的一个线性离散系统：
x k + 1 = A x k + B u k (1) \pmb{x_{k+1}} = \pmb A \pmb{x_k} + \pmb B \pmb{u_k} \tag{1} xk+1xk+1xk+1=AAAxkxkxk+BBBukukuk(1)
其中， x \pmb x xxx是系统的状态变量； u \pmb u uuu是对系统控制的输入量； A , B \pmb A,B AAA,B均为定值矩阵，用来对状态和控制量进行转换。
上式（1）是状态的一步传递。
假设我们以状态 x k , k \pmb x_{k,k} xxxk,k为基础，然后以控制量 u k , k \pmb u_{k,k} uuuk,k，带入式子（1）将计算得到 x k + 1 , k \pmb x_{k+1,k} xxxk+1,k，然后再将计算出来的 x k + 1 , k \pmb x_{k+1,k} xxxk+1,k和 u k + 1 , k \pmb u_{k+1,k} uuuk+1,k带入（1）式，又得到了 x k + 2 , k \pmb x_{k+2,k} xxxk+2,k，以此类推，就可以得到在 k k k时刻的时候，对未来 N N N个状态的预测。
为了方便大家的理解，我把上述过程通过公式的方式写出来：
x
x
,
x
=
I
∗
x
x
,
x
+
0
∗
u
k
,
k
x
x
+
1
,
x
=
A
∗
x
x
,
x
+
B
∗
u
k
,
k
x
x
+
2
,
x
=
A
∗
x
x
+
1
,
x
+
B
∗
u
k
+
1
,
k
=
A
∗
(
A
∗
x
x
,
x
+
B
∗
u
k
,
k
)
+
B
∗
u
k
+
1
,
k
⋮
x
x
+
N
,
x
=
A
N
x
k
,
k
+
A
N
−
1
B
u
k
,
k
+
A
N
−
1
B
u
k
+
1
,
k
+
⋯
(3)
\pmb x_{x,x} = \pmb I* \pmb x_{x,x} + \pmb 0 * \pmb u_{k,k} \\ \pmb x_{x+1,x} = \pmb A* \pmb x_{x,x} + \pmb B * \pmb u_{k,k} \\ \pmb x_{x+2,x} = \pmb A* \pmb x_{x+1,x} + \pmb B * \pmb u_{k+1,k} = \pmb A* (\pmb A* \pmb x_{x,x} + \pmb B * \pmb u_{k,k}) + \pmb B * \pmb u_{k+1,k} \\ \vdots \\ \pmb x_{x+N,x} = \pmb A^{N} \pmb x_{k,k} + \pmb A^{N-1} \pmb B \pmb u_{k,k} + \pmb A^{N-1} \pmb B u_{k+1, k} + \cdots \tag{3}
xxxx,x=III∗xxxx,x+000∗uuuk,kxxxx+1,x=AAA∗xxxx,x+BBB∗uuuk,kxxxx+2,x=AAA∗xxxx+1,x+BBB∗uuuk+1,k=AAA∗(AAA∗xxxx,x+BBB∗uuuk,k)+BBB∗uuuk+1,k⋮xxxx+N,x=AAANxxxk,k+AAAN−1BBBuuuk,k+AAAN−1BBBuk+1,k+⋯(3)
上述过程中的控制量 u k \pmb u_k uuuk很关键，只有知道了它的值，我们才能使用上面的过程进行状态的预测。而这个 u k \pmb u_k uuuk便是我们通过MPC求解得到的。
我们将上述的（3）式写成一个向量和矩阵的形式，则如下：
[ x k , k x k + 1 , k x k + 2 , k ⋮ x k + N , k ] = [ I A A 2 ⋮ A N ] x k + [ 0 0 ⋯ 0 B 0 ⋯ 0 A B B ⋯ 0 A N − 1 N A N − 2 ⋯ B ] [ u k , k u k + 1 , k u k + 2 , k ⋮ u k + N − 1 , k ] (4) \left[ \begin{matrix} \pmb x_{k,k} \\ \pmb x_{k+1,k} \\ \pmb x_{k+2,k} \\ \vdots \\ \pmb x_{k+N,k} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \pmb I \\ \pmb A \\ \pmb A^2 \\ \vdots \\ \pmb A^N \end{matrix} \right] \pmb x_k + \left[ \begin{matrix} \pmb 0 & \pmb 0 & \cdots & \pmb 0 \\ \pmb B & \pmb 0 & \cdots & \pmb 0 \\ \pmb A \pmb B & \pmb B & \cdots & \pmb 0 \\ \pmb A^{N-1} \pmb N & \pmb A^{N-2} & \cdots & \pmb B \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \pmb u_{k,k} \\ \pmb u_{k+1,k} \\ \pmb u_{k+2,k} \\ \vdots \\ \pmb u_{k+N-1,k} \end{matrix} \right] \tag{4} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡xxxk,kxxxk+1,kxxxk+2,k⋮xxxk+N,k⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡IIIAAAAAA2⋮AAAN⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤xxxk+⎣⎢⎢⎡000BBBAAABBBAAAN−1NNN000000BBBAAAN−2⋯⋯⋯⋯000000000BBB⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡uuuk,kuuuk+1,kuuuk+2,k⋮uuuk+N−1,k⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤(4)
将上式进一步简写得到：
X
k
=
M
x
k
+
C
U
k
(5)
\pmb X_k = \pmb M \pmb x_k + \pmb C \pmb U_k \tag{5}
XXXk=MMMxxxk+CCCUUUk(5)
在此，再次强调，式子（5）是通过 k k k时刻的已知状态 x k \pmb x_k xxxk，通过 N N N个控制量 u k + i , k \pmb u_{k+i,k} uuuk+i,k对未来的 N N N个状态进行预测而得到的，务必要理解这一点。
(2).构建误差函数
想象一下，我们有了对未来的 N N N个预测状态， x k , k \pmb x_{k,k} xxxk,k、 x k + 1 , k \pmb x_{k+1,k} xxxk+1,k、 x k + 2 , k \pmb x_{k+2,k} xxxk+2,k、 x k + 3 , k \pmb x_{k+3,k} xxxk+3,k …
而在多数的控制任务中，我们同样也有一串连续的已知参考状态， r k \pmb r_{k} rrrk、 r k + 1 \pmb r_{k+1} rrrk+1、 r k + 2 \pmb r_{k+2} rrrk+2、 r k + 3 \pmb r_{k+3} rrrk+3 …
对于控制任务，控制器要做的就是通过对系统输入控制量，从而使得状态接近参考状态。
这样说可能有一些抽象，我们以一个一维的直线跟踪为例子，通过图示进行解释：
上图
x
x
x轴为要跟踪的参考直线，我们以窗口N=6进行状态量预测，得到在
k
k
k时刻的6个预测量，如上图中的红点所示，各个预测量对应的参考量为x轴的蓝点。
很明显，当红点与对应的蓝点之间的距离越接近的时候，控制的效果肯定就是越好。按照这个思路，我们可以将控制过程，写成一个代价函数，然后通过优化的方式进行求解。
假设我们的参考状态始终为 r = [ 0 , 0 ] \pmb r = [0,0] rrr=[0,0]，那么每一个预测状态的误差就为 e = x k , k − r k = x k , k e = \pmb x_{k,k} - \pmb r_{k} = \pmb x_{k,k} e=xxxk,k−rrrk=xxxk,k。类似的可以写出整个窗口之内的误差为：
J = x k + N , k T F x k + N , k + ∑ i = 0 N − 1 x k + i , k T Q x k + i , k (6) \pmb J = \pmb x_{k+N, k}^T \pmb F \pmb x_{k+N, k} + \sum_{i=0}^{N-1} \pmb x_{k+i, k}^T \pmb Q \pmb x_{k+i, k} \tag{6} JJJ=xxxk+N,kTFFFxxxk+N,k+i=0∑N−1xxxk+i,kTQQQxxxk+i,k(6)
上式（6）中的 F \pmb F FFF和 Q \pmb Q QQQ分别表示误差的权重，它们都为对角矩阵，其中的数值越大，在优化的时候就越倾向于将当前这个式子的值减少的越多。
式子（6）中只是对状态的误差进行优化，这似乎有一些不合理，因为这完全没有考虑到控制量，如果将控制量也加入到（6）式中，可以得到：
J = x k + N , k T F x k + N , k + ∑ i = 0 N − 1 ( x k + i , k T Q x k + i , k + u k + i , k T R u k + i , k ) (7) \pmb J = \pmb x_{k+N, k}^T \pmb F \pmb x_{k+N, k} + \sum_{i=0}^{N-1} (\pmb x_{k+i, k}^T \pmb Q \pmb x_{k+i, k} + \pmb u_{k+i,k}^T \pmb R \pmb u_{k+i,k})\tag{7} JJJ=xxxk+N,kTFFFxxxk+N,k+i=0∑N−1(xxxk+i,kTQQQxxxk+i,k+uuuk+i,kTRRRuuuk+i,k)(7)
因此就得到了完整的误差函数 J \pmb J JJJ，我们的目的是通过优化（7）式，得到使整个误差函数最小的控制量 u \pmb u uuu.
以上过程牵扯到一些最优化的思想，如果你觉得难以理解，可以看一些优化相关的理论。
为了计算方便，将（7）式子写成矩阵的形式：
J = x k T G x k + U k T H U k + 2 U k T E x k (8) J = \pmb x_k^T \pmb G\pmb x_k + \pmb U_k^T \pmb H \pmb U_k + 2\pmb U_k^T \pmb E \pmb x_k \tag{8} J=xxxkTGGGxxxk+UUUkTHHHUUUk+2UUUkTEEExxxk(8)
其中： G = M T Q ‾ M \pmb G = \pmb M^T \overline{\pmb{Q}}\pmb M GGG=MMMTQQQMMM， E = C T Q ‾ M \pmb E = \pmb C^T \overline{\pmb{Q}}\pmb M EEE=CCCTQQQMMM， H = C T Q ‾ C R ‾ \pmb H = \pmb C^T \overline{\pmb{Q}}\pmb C \overline{\pmb{R}} HHH=CCCTQQQCCCRRR
Q ‾ = [ Q 0 ⋯ 0 0 0 Q ⋯ 0 0 Q ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 0 ⋯ F ] \overline{\pmb{Q}} = \left[ \begin{matrix} \pmb Q & \pmb 0 & \cdots & \pmb 0 & \pmb 0 \\ \pmb 0 & \pmb Q & \cdots \\ \pmb 0 & \pmb 0 & \pmb Q & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \pmb 0 & \pmb 0 & \pmb 0 & \cdots & \pmb F \\ \end{matrix} \right] QQQ=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡QQQ000000⋮000000QQQ000⋮000⋯⋯QQQ⋮000000⋯⋱⋯000FFF⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
R ‾ = [ R 0 ⋯ 0 0 0 R ⋯ 0 0 R ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 0 ⋯ R ] \overline{\pmb{R}} = \left[ \begin{matrix} \pmb R & \pmb 0 & \cdots & \pmb 0 & \pmb 0 \\ \pmb 0 & \pmb R & \cdots \\ \pmb 0 & \pmb 0 & \pmb R & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \pmb 0 & \pmb 0 & \pmb 0 & \cdots & \pmb R \\ \end{matrix} \right] RRR=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡RRR000000⋮000000RRR000⋮000⋯⋯RRR⋮000000⋯⋱⋯000RRR⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
(3).代价函数求解
对于式子（7）它是一个典型的二次规划问题，它是一个高维度的凸函数，它有且只有一个极值点，并且还是它的最小值。对于最小值的求解可以使用现成的优化库，例如OSQP等等进行求解。
式子（7）是一个无约束的最优化问题，也可以直接求导，导数为零的点即为最优控制量。也就是（7）式的最优解为：
U
∗
=
H
−
1
(
−
E
∗
x
k
)
(9)
\pmb U^* = \pmb H^{-1} (-\pmb E * \pmb x_k) \tag{9}
UUU∗=HHH−1(−EEE∗xxxk)(9)
(4).如何使用控制量 U ∗ U^* U∗
通过（9）式子，得到了 N N N个预测的控制量，但是实际使用的时候，只取第一个控制量，作为 k k k时刻的控制量。然后计算得到 K + 1 K+1 K+1时刻的状态，再以 k + 1 k+1 k+1时刻的状态，重复上述过程进行预测控制的计算。
2.具体例子以及代码实现
为了更方便的理解上面的过程，我引入一个实际的例子。
首先对公式（1）进行实例化，得到如下具体系统：
x k + 1 = A x k + B u k \pmb{x_{k+1}} = \pmb A \pmb{x_k} + \pmb B \pmb{u_k} xk+1xk+1xk+1=AAAxkxkxk+BBBukukuk
[ x 1 , k + 1 x 2 , k + 1 ] = [ 1 0.1 0 2 ] [ x 1 , k x 2 , k ] + [ 0 0.5 ] ∗ u k (10) \left[\begin{matrix} x_{1,k+1} \\ x_{2,k+1} \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 1 & 0. 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_{1,k} \\ x_{2,k} \end{matrix}\right]+ \left[\begin{matrix} 0 \\ 0.5 \end{matrix}\right] * \pmb u_k \tag{10} [x1,k+1x2,k+1]=[100.12][x1,kx2,k]+[00.5]∗uuuk(10)
并且，假设系统的预测区间 N = 3 N=3 N=3
对应的 Q \pmb Q QQQ、 R \pmb R RRR、 F \pmb F FFF矩阵分别如下：
Q = [ 1 0 0 1 ] \pmb Q = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] QQQ=[1001]
F = [ 2 0 0 2 ] \pmb F = \left[\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right] FFF=[2002]
R = [ 0.1 ] \pmb R = \left[\begin{matrix} 0.1 \end{matrix}\right] RRR=[0.1]
初始状态为：
x
i
n
i
t
=
[
5
5
]
\pmb x_{init} = \left[\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}\right]
xxxinit=[55]
将上面的几个参数值代入到第1节中的公式（4）（5）（8）中，构建所需要的大矩阵，然后使用（9）式即可完成最优控制量的求解。
如果大家对于矩阵的应用不是很熟悉，可能在计算每个矩阵维度的时候，会有一些困难。为了大家的理解，我把（10）所示的系统，在预测窗口 N = 3 N=3 N=3时的各个矩阵的维度都列出来，方便代价在推导公式的时候，进行验证。
Q \pmb Q QQQ：2x2
F \pmb F FFF：2x2
R \pmb R RRR：1x1
x k \pmb x_k xxxk：2x1
A \pmb A AAA：2x2
B \pmb B BBB：2x1
M \pmb M MMM：8x2
C \pmb C CCC：8x3
Q ‾ \overline{\pmb Q} QQQ：8x8
R ‾ \overline{\pmb R} RRR：3x3
G \pmb G GGG：2x2
E \pmb E EEE：3x2
H \pmb H HHH：3x3
MPC的代码片段如下：(代码中的字母和这篇博客的字母是一一对应的)
Eigen::VectorXd RunMPC(unsigned int N, Eigen::VectorXd &init_x, Eigen::MatrixXd &A, Eigen::MatrixXd &B,
Eigen::MatrixXd &Q, Eigen::MatrixXd &R, Eigen::MatrixXd &F) {
unsigned int num_state = init_x.rows();
unsigned int num_control = B.cols();
Eigen::MatrixXd C, M;
C.resize((N + 1) * num_state, num_control * N);
C.setZero();
M.resize((N + 1) * num_state, num_state);
Eigen::MatrixXd temp;
temp.resize(num_state, num_state);
temp.setIdentity();
M.block(0, 0, num_state, num_state).setIdentity();
for (unsigned int i = 1; i <= N; ++i) {
Eigen::MatrixXd temp_c;
temp_c.resize(num_state, (N + 1) * num_control);
temp_c << temp * B, C.block(num_state * (i - 1), 0, num_state, C.cols());
C.block(num_state * i, 0, num_state, C.cols())
= temp_c.block(0, 0, num_state, temp_c.cols() - num_control);
temp = A * temp;
M.block(num_state * i, 0, num_state, num_state) = temp;
}
Eigen::MatrixXd Q_bar, R_bar;
Q_bar.resize(num_state * (N + 1), num_state * (N + 1));
Q_bar.setZero();
for (unsigned int i = 0; i < N; ++i) {
Q_bar.block(num_state * i, num_state * i, num_state, num_state) = Q;
}
Q_bar.block(num_state * N, num_state * N, num_state, num_state) = F;
R_bar.resize(N * num_control, N * num_control);
R_bar.setZero();
for (unsigned int i = 0; i < N; ++i) {
R_bar.block(i * num_control, i * num_control, num_control, num_control) = R;
}
Eigen::MatrixXd G = M.transpose() * Q_bar * M;
Eigen::MatrixXd E = C.transpose() * Q_bar * M;
Eigen::MatrixXd H = C.transpose() * Q_bar * C + R_bar;
return H.inverse() * (-E * init_x);
}
3.实验结果
对于公式（10）所示的系统，我们来探讨 Q \pmb Q QQQ、 R \pmb R RRR、 F \pmb F FFF，以及预测区间 N N N对控制器的影响。
公式（10）所示的系统，其状态量有2个，其中 x 2 x_2 x2收敛的比较快，不利于我们观察，所以下图只是绘制了第一个状态量变量的变化情况。
(1). 预测区间N的影响
(2). 权重矩阵F的影响
(3). 权重矩阵Q的影响
(4). 权重矩阵R的影响
上面的过程只是为了帮助大家去理解MPC各个权重参数的大致作用，所得出的结论并一定适合别的系统。
4. 总结
本文从一个离散的线性系统开始，对MPC进行推导，完整的探索了整个过程。
如果大家对优化理论和控制理论有一些了解的话，对于MPC的理解是比较容易的，它并不复杂。
我们在上述的过程中，构建了一个代价函数 J \pmb J JJJ，它的最优值求解是一个二次规划问题，在不考虑约束的情况下，直接求导就能得到最优的控制量。
但是实际应用中，可能还会引入一些约束。例如，在自动驾驶情境中，我们对四轮汽车的系统，控制它的速度和转角，但是这些控制量很明显有实际意义，汽车的转角有一个范围，速度也有范围，因此我们在求解类似这样的控制问题时，需要对代价函数加入约束。此时就变成了带约束的二次规划问题了，就不能再通过求导得到最优值了，只能通过优化迭代的方式找到最优值。
5.参考资料
(1). MPC模型预测控制器