1.题目描述

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.   For example, given the following triangle   [ [2], [3,4], [6,5,7], [4,1,8,3] ] The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

2.解法分析

此题最简单的想法就是一个深度搜索，将所有可能的路径全部找出来，比较它们的和，于是有了如下的代码：

class Solution { public: int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) { // Start typing your C/C++ solution below // DO NOT write int main() function //by areslipan@163.com int minTotal= 0; for(int i = 0;i<triangle.size();++i) { minTotal+=triangle[i][0]; } triangleHeight = triangle.size(); int depth = 1; int curSum = 0; minnum(triangle,minTotal,1,0,curSum); return minTotal; } void minnum(vector<vector<int>> &triangle,int & minTotal,int depth,int loc,int &curSum) { curSum+=triangle[depth-1][loc]; if(depth == triangleHeight) { minTotal = minTotal<curSum?minTotal:curSum;return; } minnum(triangle,minTotal,depth+1,loc,curSum); curSum -= triangle[depth][loc]; minnum(triangle,minTotal,depth+1,loc+1,curSum); curSum -= triangle[depth][loc+1]; } private: int triangleHeight; };

 

在小数据集上运行良好,但是大数据集上就不行了,归根结底,深度遍历一方面有重复计算,一方面有递归消耗,再加上是个O(N²)的算法，必定会很慢，不过深度遍历的算法很直观，可以作为进一步分析的基础。既然知道深度搜索不行，那么该怎么办呢，我们发现，其实这个三角是有很强的最优子结构的，分析如下：

如果最短路径通过第i层（最上一层为0层，第一个元素标号为0）的第j个元素，那么必然有最短路径通过第i层的第j-1或者第j个元素，这种二选一的情形是由题意限定的，对于每一层的首尾需特殊处理，如果最短路径通过i层的首尾元素，说明最优路径在上一层的节点已经确定。于是，若已知截止于第i-1层的各个元素的最短路径和SUM_i-1(SUM为长度为i的数组），那么截止于第i层的最短路径和SUM_i的每个元素可以按照如下公式计算：

• SUM_i[j] = min(SUM_i-1[j-1],SUM_i-1[j]) +triangle[i][j]      若 j>0且j<i
• SUM_i[0] = SUM_i-1[0]+triangle[0][0];
• SUM_i[i]  =SUM_i-1[i-1] +triangle[i][i];

于是有了以下的代码：

class Solution { public: int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) { // Start typing your C/C++ solution below // DO NOT write int main() function //areslipan@163.com int triangleHeight = triangle.size(); if(triangleHeight==0)return 0; //申请一个长度为n的辅助空间，作为动态规划的备忘表 //备忘表被循环利用，第i个循环中只有前i个元素有意义，存放的是遍历到第i层的最佳路径对应的最小值 vector<int> mmtTable; mmtTable.assign(triangleHeight,0); mmtTable[0]= triangle[0][0]; int tmp = 0; for(int i = 1;i<triangleHeight;++i) { //特殊处理每一层的第一个元素,因为第一个元素的上一个节点一定是上一层的第一个元素 int cur = mmtTable[0]; mmtTable[0] = cur + triangle[i][0]; //第i层的中间节点j可能上一层节点是第i-1层的j-1和j个节点 for(int j=1;j<i;++j) { tmp = mmtTable[j]; mmtTable[j] = min(cur,mmtTable[j])+triangle[i][j]; cur = tmp; } //特殊处理每一层的最后一个元素，因为最后一个元素的上一个节点一定是上一层的最后一个元素 mmtTable[i] = cur+triangle[i][i]; } vector<int>::iterator iter; int minTotal = mmtTable[0]; for(iter = mmtTable.begin();iter!=mmtTable.end();++iter) { if((*iter)<minTotal)minTotal = *iter; } return minTotal; } };