正交投影矩阵_相机中的透视投影几何——讨论相机中的正交投影

相机中的透视投影几何——讨论相机中的正交投影,弱透视投影以及透视的一些性质

前言

相机中的成像其本质是从3D实体世界中的物体投影到2D成像平面上,在这个过程中存在着许多投影相关的内容,本文讨论了一些透视投影的内容,

相机的针孔模型

我们曾经在[1]中讨论过关于相机的针孔模型的话题,这里我们要再次提起下这个模型。针孔模型(pinhole model) 是最简单的可以成像的“设备”,然而其可以精确地得到 透视投影(Perspective Projection) 的几何信息,这里所说的透视投影,定义为:

将三维物体的信息映射到二维平面上,称之为透视投影。( Such a mapping from three dimensions onto two dimensions is called perspective projection. )

正交投影矩阵_相机中的透视投影几何——讨论相机中的正交投影

 

Fig 1.1 相机的针孔模型及其透视投影成像。

在针孔模型中,光线通过一个无限小的孔,并且在成像平面上呈现出倒像。呈现出倒像不方便我们的分析,因此我们在分析时通常假设成像平面在焦点之前,距离同样也是焦距(未归一化之前,归一化之后距离就是1了,称之为归一化坐标系)。

透视投影的方程

我们需要用代数方式描述透视投影中的比例关系,如图Fig 2.1所示,根据相似三角形的知识,我们有:

 

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正交投影矩阵_相机中的透视投影几何——讨论相机中的正交投影

其中的

正交投影矩阵_相机中的透视投影几何——讨论相机中的正交投影是焦距。

联合公式(2.1)和(2.2),我们有透视投影公式:

正交投影矩阵_相机中的透视投影几何——讨论相机中的正交投影

 

                                                         Fig 2.1 透视投影示意图。

透视投影的若干性质

多对一映射,在透视投影中,已知了投影点
之后,其实体点
并不是唯一的,而是存在于过焦点连线
上的任意一点都有可能(不过要在
之后呢,所以应该是在
的延长射线上。)
放缩和投影缩放。
当一个平面或者一条直线平行于成像平面时,透视投影的影响其实就是对这个平面/直线进行了缩放(scaling)。
当一个平面或者直线不平行于成像平面时,透视投影的会产生非线性的投影扭曲(projective distortion),可以将其分解成平行于成像平面的分量的缩放。

正交投影矩阵_相机中的透视投影几何——讨论相机中的正交投影

 

 

焦距的若干影响

如图Fig 2.3 所示,不同焦距有着不同的影响,我们发现,焦距越小,其视角越大,属于广角摄像头(wide-angle camera);焦距越大,其视角越小,但是分辨率会提高,属于望远镜摄像头(more telescopic)。

Fig 2.3 不同焦距的影响。

在透视投影中,在投影过程中,实际的平行关系通常不能保留下来,实际上,透视投影保留不了角度,距离等大部分的几何关系,但是保留了直线的“直”的这个属性。[2]

正交透视投影

注意到透视投影一般来说是非线性的,其不保留原始元素的大部分几何属性,比如平行,角度等,为了分析方便,我们假设当焦距无限大时,我们在成像平面上会存在一个所谓的正交投影,这个正交投影可以保留平行关系。其每个投影线都是平行的。这个称之为正交投影(orthographic projection)

正交投影矩阵_相机中的透视投影几何——讨论相机中的正交投影

 

弱透视投影

 正交投影的尺度大小是和原始物体的大小一致的,当考虑的正交头像的尺度缩放时,就有了弱透视投影(weak perspective projection)

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