SVD算法相关论文

  奇异值分解Singular Value Decomposition：简称SVD，特征分解的广义化，是一种提取特征信息的方法。

SVD算法过程

1、根据Andrew Gibiansky 写的关于 SVD 的文章中代码

http://andrew.gibiansky.com/blog/mathematics/cool-linear-algebra-singular-value-decomposition/

奇异值top不同个数的应用：可以发现，如果我们根据大小排序这些奇异值（矩阵 Σ 的值），那么前 50 个奇异值将包含整个矩阵 Σ 的大小的 85％。根据这个事实，我们可以丢弃后面的 250 个值（即将它们设为 0），仅保留这张小狗图像的「rank（秩）50」版本。值的数量差不多少了 5 倍，但质量却下降很少。上述计算的原因是当我们执行 UΣ'V 运算时，U 和 V 矩阵中的一部分因为乘 0 也被丢弃（其中 Σ' 是 Σ 的修改后版本，其中仅包含了前面的 30 个值）。

低秩矩阵的近似应用：图像压缩，其实80与原图相差不是很大。SVD中的奇异值的个数分别为1、10、80。

1、公式的推导

2、SVD算法两步过程

SVD代码实现

import numpy as np

def load_data():

   return [    [0,0,0,1,1],

               [0,0,0,2,2],

               [0,0,0,3,3],

               [4,4,4,0,0],

               [5,5,5,0,0],

               [6,6,6,0,0],

               [7,7,7,0,0]]

data = load_data()

u, sigma, vt = np.linalg.svd(data)   #Sigma是个矩阵，Python内部的机制，为了节省空间，因为它除了对角线都是0

print(sigma)#前两个值比后三个值大的多，所以可以取这两个奇异值，把其余三个置0。

[1.94422221e+01 5.29150262e+00 1.86910323e-15 4.48702001e-16

8.62587679e-18]

SVD的案例应用

1、SVD的推荐案例

假定Ben、Tom、John、Fred对6种产品进行了评价，评分越高，代表对该产品越喜欢。0表示未评价。

1、进行SVD分解并提取前2个特征

(1)、产品矩阵的压缩、用户矩阵的压缩

2、利用SVD进行新用户的个性化推荐

思路：对于新用户，如何对其做个性化推荐呢？将A扩展后重新计算SVD，然后聚类用户？

(1)、假设有个Bob的新用户，对6个产品的评分为(5,5,0,0,0,5)T，通过上边的公式计算出Bob的特征点坐标。

(2)、通过计算Bob和现有用户的距离进行聚类：计算余弦距离(一定意义下即相关系数)，与其最近的是Ben，因此，可以给Bob推荐Ben喜欢的S5、S3。