5. 4 本构方程 - 应力与变形之间的关系

5.4.1. 本构关系的一般形式

1. 若 Cauchy 应力张量 ${\bf T}$ 满足 $$\bex {\bf T}({\bf y})=\hat{\bf T}({\bf x},{\bf F}({\bf x})), \eex$$ 则称材料是 (Cauchy) 弹性的; 这里 $\hat {\bf T}$ 称为响应函数. 若再 ${\bf T}({\bf y})=\hat{\bf T}({\bf F}({\bf x}))$, 则称弹性体是齐次的, 否则称为非齐次的.

2. 以下讨论齐次弹性材料.

3. 客观性假设 (弹性体在刚体运动下不产生任何变形): $$\bex \hat{\bf T}({\bf Q}{\bf F})={\bf Q}\hat{\bf T}({\bf F}){\bf Q}^T. \eex$$

4. 材料称为超弹性的, 如果 $$\bex \exists\ W=\hat W({\bf F}),\st p_{ij}=\cfrac{\p \hat W({\bf F})}{\p f_{ij}}. \eex$$ 而 $W=\hat W({\bf F})$ 称为贮能函数 (应变能函数).

(1) 超弹性材料一定是弹性的.

(2) 对超弹性材料而言, 客观性假设由下式给出 $$\bex \hat W({\bf Q}{\bf F})=\hat W({\bf F}). \eex$$

5.4.2. 各向同性材料的本构方程

1. 定义: 如果弹性材料的本构方程 $$\bex {\bf T}({\bf y})=\hat {\bf T}({\bf F}({\bf x})), \eex$$ 中的响应函数 $\hat {\bf T}$ 对一切正交阵 ${\bf Q}$ 有 $$\bex \hat{\bf T}({\bf F}{\bf Q})=\hat {\bf T}({\bf F}), \eex$$ 则称材料是各向同性的.

2. 对超弹性材料而言, 各向同性由贮能函数给出: $$\bex \hat W({\bf F}{\bf Q})=\hat W({\bf F}),\quad\forall\mbox{ 正交阵 }{\bf Q}. \eex$$ (证明见习题 6).

3. 由 $$\beex \bea \hat{\bf T}({\bf F})&=\hat {\bf T}({\bf V}{\bf R})\quad\sex{\mbox{极分解}}\\ &=\hat{\bf T}({\bf V})\\ &=\tilde {\bf T}({\bf B}^\frac{1}{2}) \eea \eeex$$ 知各向同性材料的 Cauchy 应力张量可表为 ${\bf V}$ 或 ${\bf B}$ 的函数.

4. 对各向同性的弹性材料, 其本构方程有形式 $$\bex {\bf T}=\sum_{i=0}^2 \beta_i(I_B){\bf B}^i, \eex$$ 其中 $I_B$ 为 ${\bf B}$ 的三个主不变量. (Euler 坐标系下的 Cauchy 应力张量通过左 Cauchy - Green 应变张量给出)

5. 对各向同性的弹性材料, 其本构方程有形式 $$\bex {\bf \Sigma}=\sum_{i=0}^2 \gamma_i(I_C){\bf C}^i. \eex$$ (Lagrange 坐标下的 第二 Piola 应力张量通过右 Cauchy - Green 应变张量给出)

6. 对在自然状态 ($\hat{\bf T}({\bf I})={\bf 0}$) 附近的变形, 各向同性材料的本构方程有形式 $$\bex {\bf \Sigma}=\lm(\tr \tilde{\bf E}){\bf I}+2\mu\tilde{\bf E}+o(|\tilde{\bf E}|), \eex$$ 其中 $\lm,\mu$ 为常数, 称为 Lam\'e 常数, 而 $\tilde{\bf E}=\cfrac{1}{2}({\bf C}-{\bf I})$.

7. 如果 $$\bex {\bf \Sigma}=\lm(\tr\tilde{\bf E}){\bf I}+2\mu\tilde{\bf E}, \eex$$ 则称材料是 St. Venant - Kirchhoff 材料.

(1) St. Venant - Kirchhoff 材料满足客观性假设 $$\bex \hat {\bf T}({\bf Q}{\bf F})={\bf Q}\hat {\bf T}({\bf F}){\bf Q}^T. \eex$$ 仅须注意到 $$\beex \bea {\bf E}&=\cfrac{1}{2}({\bf C}-{\bf I})=\cfrac{1}{2}({\bf F}^T{\bf F}-{\bf I}),\\ J{\bf F}^{-1}\hat{\bf T}({\bf F}){\bf F}^{-T}&={\bf \Sigma}. \eea \eeex$$

(2) St. Venant - Kirchhoff 材料是各向同性的: $$\bex \hat{\bf T}({\bf F}{\bf Q})=\hat{\bf T}({\bf F}). \eex$$

5.4.3. 贮能函数的例子

1. 对 St. Venant - Kirchhoff 材料, $$\bex {\bf P}={\bf F}{\bf \Sigma}=\lm(\tr \tilde{\bf E}){\bf F}+2\mu {\bf F}\tilde{\bf E}. \eex$$ 而贮能函数 $$\bex W=\cfrac{\lm}{2}(\tr{\bf E})^2+\mu\tr {\bf E}^2. \eex$$ 事实上, $$\beex \bea \cfrac{\p}{\p f_{ij}}(\tr \tilde{\bf E})^2 &=\tr \tilde{\bf E}\cdot \cfrac{\p}{\p f_{ij}} \sez{\cfrac{1}{2}({\bf F}^T{\bf F}-{\bf I})}\\ &=\tr\tilde{\bf E}\cdot\cfrac{\p}{\p f_{ij}}\sez{\cfrac{1}{2}\sum_{m,n} f_{nm}{f_{nm}}}\\ &=\tr\tilde{\bf E}\cdot f_{ij}\\ &=\sez{(\tr\tilde{\bf E})^2{\bf F}}_{ij};\\ \cfrac{\p}{\p f_{ij}}\sex{\tr\tilde{\bf E}^2} &=\sum_{m,n}\cfrac{\p}{\p e_{mn}}\sez{\sum_{p,q}e_{p,q}e_{pq}}\cdot\cfrac{\p}{\p f_{ij}}e_{mn}\\ &=\sum_{m,n}2e_{mn}\cdot\cfrac{1}{2}\cfrac{\p}{\p f_{ij}} \sum_p f_{pm}f_{pn}\\ &=\sum_{mn}e_{mn}\sex{\delta_{mj}f_{in}+f_{im}\delta_{jn}}\\ &=\sum_n e_{jn}f_{in}+\sum_me_{mj}f_{im}\\ &=2({\bf F}\tilde{\bf E})_{ij}. \eea \eeex$$

2. 各向同性材料的贮能函数的形式 由客观性假设, $$\beex \bea &\quad\hat W({\bf Q}{\bf F})=\hat W({\bf F})\quad\sex{\forall\mbox{ 正交阵 }{\bf Q}}\\ &\ra \hat W({\bf F})=\hat W({\bf U})\quad\sex{{\bf Q}={\bf R}^T}\\ &\quad\quad\quad\quad\ =\tilde W({\bf C})\quad\sex{\tilde W({\bf C})=\hat W({\bf C}^\frac{1}{2})}. \eea \eeex$$ 由各向同性, $$\beex \bea \hat W({\bf F})&=\hat W({\bf F}{\bf Q})\\ &=\tilde W(({\bf F}{\bf Q})^T({\bf F}{\bf Q}))\\ &=\tilde W({\bf Q}^T{\bf C}{\bf Q})\\ &=\tilde W(\diag(\lm_1,\lm_2,\lm_3))\quad\sex{\mbox{取适当正交阵 }{\bf Q}}. \eea \eeex$$ 如此, $\hat W$ 仅依赖于 ${\bf C}$ 的主值, 而仅依赖于 ${\bf U}$ 的主值 $\mu_1,\mu_2,\mu_3$.

3. 贮能函数的例子

(1) Ogden 材料.

(2) Neo - Hookean 材料.

(3) Mooney - Rivlin 材料.

(3) 可压缩的 Ogden 材料.

(4) Ciarlet - Geymonet 材料.

5.4.4. 线性弹性 - 广义 Hooke 定律

1. 广义 Hookean 定律: 在自然状态下的参考构形的附近的小变形, $$\bex {\bf P}={\bf A}{\bf E}\quad\sex{p_{ij}=\sum_{kl}a_{ijkl}e_{kl}}, \eex$$ 其中 ${\bf E}$ 为无穷小应变张量.

(1) 由 ${\bf C}$ 的对称性知 $$\bex a_{ijkl}=a_{ijlk}. \eex$$

(2) 由 $\bar {\bf P}$ 的对称性知 $$\bex a_{ijkl}=a_{jikl}. \eex$$

(3) 若材料是超弹性的, 则 (见习题 4) $$\bex a_{ijkl}=a_{klij}. \eex$$

(4) 若材料是各向同性的, 由 ${\bf P}={\bf F}{\bf \Sigma}$ 及习题 4. 3, 我们有应力 - 应变关系: $$\bex p_{ij}=\lm (e_{11}+e_{22}+e_{33})\delta_{ij}+2\mu e_{ij}, \eex$$ 而 $$\bex a_{ijkl}=\lm \delta_{ij}\delta_{kl}+\mu\sex{\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}}. \eex$$ 另一方面, 我们也有应变 - 应力关系: $$\bex e_{ij}=\cfrac{1}{2\mu}p_{ij}-\cfrac{\lm}{2\mu(3\lm+2\mu)}(p_{11}+p_{22}+p_{33})\delta_{ij}. \eex$$

2. Lam\'e 常数 $\lm,\mu$ 的物理意义

(1) Hookean 定律: 相对伸长较小时, 轴向应力与相对伸长成正比, 比值称为 Young 模量 $E$.

(2) 横截面直径的相对减少量与相对伸长量成正比, 比值称为 Poisson 比 $\nu$.

(3) 剪应力与它所引起的角度变化成正比, 称为剪切模量.

(4) 平均正应力与由变形产生的体积增长率之比称为体积弹性模量 $\kappa$.

(5) 这些模量与 Lam\'e 常数的关系: $$\beex \bea \sedd{\ba{ll} E=\cfrac{\mu(3\lm+2\mu)}{\lm+\mu}\\ \nu=\cfrac{\lm}{2(\lm+\mu)} \ea},&\quad\quad\sedd{\ba{ll} \lm=\cfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\\ \mu=\cfrac{E}{2(1+\nu)} \ea};\\ \mu:&\quad\quad\sex{\mbox{就是剪切模量}};\\ \kappa&=\lm+\cfrac{2}{3}\mu. \eea \eeex$$