You have a total of n coins that you want to form in a staircase shape, where every k-th row must have exactly k coins.

Given n, find the total number of full staircase rows that can be formed.

n is a non-negative integer and fits within the range of a 32-bit signed integer.

Example 1:

n = 5

The coins can form the following rows:

¤

¤ ¤

¤ ¤

Because the 3rd row is incomplete, we return 2.

Example 2:

n = 8

The coins can form the following rows:

¤

¤ ¤

¤ ¤ ¤

¤ ¤

Because the 4th row is incomplete, we return 3.

首先理解题目的意思

给出一个数N，然后利用这个数去排列。

每行尽可能排满，第一行1个，第二行2个。。。。

返回排满的行数

首先列出看的见的等式。

（1+x）*x/2 + r = n;

其中x为最后有多少行，r为最后返回的结果，n为给出的数据。

//然后我们就把这个问题转换成了一个数学问题

也就是我们要计算出一个x要满足等式成立的情况下r最小。

如何找到这个x呢？

1、首先最简单的解法，枚举所有的x，直到r为负数为止，前一个x就是满足条件的。

所以最后的复杂度肯定是x+1，x为最终成立的行数，x为需要返回的结果。

还有更快的方法吗？

我的想法是，当r为0时，x可以从sqrt（n*2）向下取整，然后从这个数，按照方法1往上找。这个是n最大的情况

当r为x-1时，也就是n最小的情况。按照上面的方法也没错，因为这个数小，所以往上找也是可以的。

public class Solution {

    public int arrangeCoins(int n) {

        int x = (int) Math.floor(Math.sqrt(n*1.0));

        int r = 0;

        while (true){

            if(x%2 == 0)

                r = x / 2 * (1+x);

            else

                r = (1+x) / 2 * x;

            if(n - r < 0)

                break;

            else

                x++;

        }

        return --x;

    }

}

其中要注意的是x的值过大时先要计算除法不然两个数相乘超过int就会出现一个极小数会影响判断。

当然还有更牛逼的方法

先不管r是多少，当做r是0，先利用解方程的方法n计算出来一个x

然后对这个x往小了取整数就可以了。

public class Solution {

    public int arrangeCoins(int n) {

        /* 数学推导

        (1+k)*k/2 = n

        k+k*k = 2*n

        k*k + k + 0.25 = 2*n + 0.25

        (k + 0.5) ^ 2 = 2*n +0.25

        k + 0.5 = sqrt(2*n + 0.25)

        k = sqrt(2*n + 0.25) - 0.5

        */

        return (int) (Math.sqrt(2*(long)n+0.25) - 0.5);

    }

}