懒得加latex了

单二倍角+单等腰

二倍角不涉及已知等腰的顶角时纯倒角可证
AB=AC，∠BAC=2∠BDC

二倍角构等腰△BDR，连接AR，则∠DRQ=2α，四边形ABRC满足角分互补型，可证RA平分∠BRD，∴△ABR≌△ARD（SAS）∴AD=AB，∴AB=AC=AD
AB=AD，∠BAD=2∠DCE

①构造等腰△BCK，∠BKD=180°-2α，又∠BAD=2α，②四边形ABKD满足角分互补型，作双垂可证KA平分∠BKD，③△ABK≌△ACK（SAS），∴AB=AC，∴AB=AD=AC
AC=AD∠CAD=2∠CBD为第一种情况镜像
OB=OC，∠BOC=2∠BAC

①构等腰△KAC，KA=KC，则∠BKC=2α=∠BOC，八字导角∠KBO=∠KCO
②△OMB≌△ONC（AAS）
③△KOM≌△KON，∴∠MKO=∠NKO，∴△AOK≌△COK（SAS）∴OA=OC

双二倍角

∠BAC=2∠BDC，∠CAD=2∠CBD

作∠BAC的角平分线交BD于E，连接EC，∠EAC=∠EDC，八字相似，∴∠3=∠5，∠4=∠6,∴△AEB≌△AEC（SSA二次全等）∴AB=AC，∠ABD=∠ACE，又∠ACE=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴AB=AC=AD
∠BOC=2∠BAC，∠AOC=2∠ABC

延长AO到点P，使OP=OC，连接PC，过点O作PC的垂线与BP延长线交于点M，连接CM，△MPO≌△MCO，四边形BMCO满足角分互补，∴OB=OC，同理可得OC=OA=OB