[3D数学基础:图形与游戏开发]读书笔记 第9章(矩阵的更多知识、行列式、逆、正交矩阵、4x4齐次矩阵)未完待续


第9章 矩阵的更多知识

矩阵的行列式

  • 任何一个方阵都存在一个标量,称为行列式,非方阵的行列式是未定义
  • 2x2矩阵行列式
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  • 3x3矩阵行列式
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  • 余子式 从M去除第i行第j列剩余的矩阵代数余子式是标量
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  • 如何求出n*n行列式 这里求的是4x4行列式
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行列式的重要性质

  1. 矩阵积的行列式等于矩阵行列式积 |AB| = |A||B|,这个可以拓展到多矩阵情况
  2. 矩阵转置的行列式等于原矩阵行列式 ∣ M T ∣ = ∣ M ∣ |M^T| = |M| ∣MT∣=∣M∣
  3. 矩阵任意一行或任意一列全为0,行列式为0
  4. 交换矩阵的任意两行或两列,行列式变负

行列式几何解释

  • 2D中 基向量为两边的平行四边形有符号的面积,有符号面积是指如果平行四边形相对于原来的方位翻转,面积将为负
  • 3D中 行列式等于变换后的基向量平行六面体的有方向体积,有方向体积是指如果变换后平行六面体由里向外翻转,体积将为负
  • 行列式的绝对值与面积和体积改变有关,行列式的符号与变换矩阵是否包含镜像或者投影,如果行列式等于0,说明变换包含投影,如果行列式为负说明包含镜像

矩阵的逆

  • 方阵的逆和原方阵等于单位矩阵
  • 如果一个矩阵有逆,那么可以称为它是可逆的或者是非奇异的,如果没有逆,说法刚好相反
  • 奇异矩阵行列式为零,检测行列式的值,可以判断矩阵是否可逆
  • 标准伴随矩阵是M的代数余子式矩阵的转置矩阵,机座adjM
  • 一旦知道了标准伴随矩阵就可以通过除以M的行列式求得矩阵的逆
  • 其他求矩阵逆的方式 高斯消元法
  • 矩阵转置的逆等于矩阵逆的转置
  • 矩阵乘积的逆等于相反顺序矩阵逆的乘积

矩阵的逆的几何解释

  • 变换撤销

正交矩阵

  • 方阵M是正交的,当且仅当M和它的转置矩阵乘积等于单位向量 M M T = I MM^T=I MMT=I
  • 根据上面矩阵逆的性质,矩阵转置的逆等于矩阵逆的转置,可以求得正交矩阵的转置等于正交矩阵的逆 M T = M − 1 M^T = M^{-1} MT=M−1

正交矩阵的几何解释

  • 正交矩阵对于求矩阵的逆很方便,但是如果知道这个矩阵是正交的呢?
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    根据上面的计算可以得知,一个矩阵正交必须满足:
    矩阵每一行都为单位矩阵
    矩阵所有行互相垂直
  • 旋转和镜像是正交的,如果M是正交的 M T M^T MT也是正交的
  • 正交基一组向量互相垂直但不全是单位向量
  • 标准正交基一组单位向量互相垂直

矩阵的正交化

  • 有一些矩阵可以略微违反了正交矩阵,这时可能需要将矩阵正交化,可以采用施密特正交化和其改进方式,这个我没看太懂,后面碰到了在研究
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4x4齐次矩阵

  • 首先明确一点4D向量和4x4矩阵只是对3D运算的一种方便的记法
  • 2D中的齐次坐标,形如(x, y, w),想象在w=1平面的3D空间中,齐次坐标表示为(x, y, 1),对于不在w=1平面上的点,投影到w=1平面,所以(x, y, w)在2D实际坐标为(x/w, y/w, w)
  • 3D中的齐次坐标同样(x, y, z, w)在3D实际点坐标为(x/w, y/w, z/w, w)

4x4平移矩阵

  • 首先带着问题,为什么要弄出来一个4D坐标?
    因为想用矩阵的乘法来代表平移,矩阵的乘法可以通过合并变换矩阵,达到一个变换矩阵包含多种变换(比如即旋转
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