第9章 矩阵的更多知识
矩阵的行列式
- 任何一个
方阵都存在一个标量，称为行列式，非方阵的行列式是未定义的 -
2x2矩阵行列式 -
3x3矩阵行列式 -
余子式从M去除第i行和第j列剩余的矩阵，代数余子式是标量 -
如何求出n*n行列式这里求的是4x4行列式
行列式的重要性质
- 矩阵积的行列式等于矩阵行列式积
|AB| = |A||B|，这个可以拓展到多矩阵情况 - 矩阵转置的行列式等于原矩阵行列式 ∣ M T ∣ = ∣ M ∣ |M^T| = |M| ∣MT∣=∣M∣
- 矩阵任意一行或任意一列全为0，行列式为0
- 交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负
行列式几何解释
-
2D中基向量为两边的平行四边形有符号的面积，有符号面积是指如果平行四边形相对于原来的方位翻转，面积将为负 -
3D中行列式等于变换后的基向量平行六面体的有方向体积，有方向体积是指如果变换后平行六面体由里向外翻转，体积将为负 -
行列式的绝对值与面积和体积改变有关，行列式的符号与变换矩阵是否包含镜像或者投影，如果行列式等于0，说明变换包含投影，如果行列式为负说明包含镜像
矩阵的逆
- 方阵的逆和原方阵等于
单位矩阵 - 如果一个矩阵有逆，那么可以称为它是
可逆的或者是非奇异的，如果没有逆，说法刚好相反 -
奇异矩阵行列式为零，检测行列式的值，可以判断矩阵是否可逆 -
标准伴随矩阵是M的代数余子式矩阵的转置矩阵，机座adjM - 一旦知道了
标准伴随矩阵就可以通过除以M的行列式求得矩阵的逆 -
其他求矩阵逆的方式高斯消元法 -
矩阵转置的逆等于矩阵逆的转置 -
矩阵乘积的逆等于相反顺序矩阵逆的乘积
矩阵的逆的几何解释
变换撤销
正交矩阵
- 方阵M是正交的，当且仅当M和它的转置矩阵乘积等于单位向量 M M T = I MM^T=I MMT=I
- 根据上面矩阵逆的性质，矩阵转置的逆等于矩阵逆的转置，可以求得
正交矩阵的转置等于正交矩阵的逆M T = M − 1 M^T = M^{-1} MT=M−1
正交矩阵的几何解释
- 正交矩阵对于求矩阵的逆很方便，但是如果知道这个矩阵是正交的呢？
根据上面的计算可以得知，一个矩阵正交必须满足：矩阵每一行都为单位矩阵矩阵所有行互相垂直 - 旋转和镜像是正交的，如果M是正交的 M T M^T MT也是正交的
-
正交基一组向量互相垂直但不全是单位向量 -
标准正交基一组单位向量互相垂直
矩阵的正交化
- 有一些矩阵可以略微违反了正交矩阵，这时可能需要将矩阵正交化，可以采用
施密特正交化和其改进方式，这个我没看太懂，后面碰到了在研究
4x4齐次矩阵
首先明确一点4D向量和4x4矩阵只是对3D运算的一种方便的记法-
2D中的齐次坐标，形如(x, y, w)，想象在w=1平面的3D空间中，齐次坐标表示为(x, y, 1)，对于不在w=1平面上的点，投影到w=1平面，所以(x, y, w)在2D实际坐标为(x/w, y/w, w) 3D中的齐次坐标同样(x, y, z, w)在3D实际点坐标为(x/w, y/w, z/w, w)
4x4平移矩阵
- 首先带着问题，为什么要弄出来一个4D坐标？
因为想用矩阵的乘法来代表平移，矩阵的乘法可以通过合并变换矩阵，达到一个变换矩阵包含多种变换(比如即旋转