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• 一、卷积 与 " 线性常系数差分方程 "
• 二、使用 matlab 求解 " 线性常系数差分方程 "

一、卷积 与 " 线性常系数差分方程 "

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" 线性常系数差分方程 " 不能使用 卷积函数 conv 函数进行求解 , 因为卷积的右侧没有 y ( n ) y(n) y(n) , 卷积公式如下 :

y ( n ) = ∑ m = − ∞ + ∞ x ( m ) h ( n − m ) = x ( n ) ∗ h ( n ) y(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n) y(n)=m=−∞∑+∞​x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)

而 " 线性常系数差分方程 " 如下 :

y ( n ) = ∑ i = 0 M b i x ( n − i ) − ∑ i = 1 N a i y ( n − i )         n ≥ M y(n) = \sum_{i = 0}^M b_i x(n - i) - \sum_{i = 1}^N a_i y(n - i) \ \ \ \ \ \ \ n \geq M y(n)=i=0∑M​bi​x(n−i)−i=1∑N​ai​y(n−i)       n≥M

在 " 线性常系数差分方程 " 公式的右侧比 卷积 公式中 , 多了一个 ∑ i = 1 N a i y ( n − i ) \sum_{i = 1}^N a_i y(n - i) ∑i=1N​ai​y(n−i) 项 , 其中有 y ( n ) y(n) y(n) 序列 , 这样就无法使用 conv 卷积函数求解 " 线性常系数差分方程 " ;

二、使用 matlab 求解 " 线性常系数差分方程 "

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matlab 中 , 使用 filter 函数, 求解 " 线性常系数差分方程 " ;

参考文档 :

• filter 函数 : https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/filter.html
• filtic 函数 : https://ww2.mathworks.cn/help/signal/ref/filtic.html

filter 函数语法如下 :

yn = filter(B, A, xn, xi)
xi = filtic(B, A, ys, xs)

" 线性常系数差分方程 " 公式如下 :

y ( n ) = ∑ i = 0 M b i x ( n − i ) − ∑ i = 1 N a i y ( n − i )         n ≥ M y(n) = \sum_{i = 0}^M b_i x(n - i) - \sum_{i = 1}^N a_i y(n - i) \ \ \ \ \ \ \ n \geq M y(n)=i=0∑M​bi​x(n−i)−i=1∑N​ai​y(n−i)       n≥M

matlab 中的 filter 函数中的参数 与 " 线性常系数差分方程 " 公式项的对应关系 :

① B 参数 : filter 函数中的 B 向量

B = [ b 0 , b 1 , ⋯   , b M ] B = [b_0 , b_1, \cdots,b_M] B=[b0​,b1​,⋯,bM​]

就是公式中的 b i b_i bi​ , 注意 i i i 范围是 [ 0 , M ] [0,M] [0,M] ;

② A 参数 : filter 函数中的 A 向量

A = [ a 1 , a 2 , ⋯   , a N ] A = [a_1 , a_2, \cdots,a_N] A=[a1​,a2​,⋯,aN​]

就是公式中的 a i a_i ai​ , 注意 i i i 范围是 [ 1 , N ] [1,N] [1,N] ;

③ xn 参数 : 输入序列 对应的 向量 ;

④ xi 参数 : 该参数 与 ys 和 xs 条件有关 , ys 和 xs 是初始条件向量 , 分别是 :

y s = [ y ( − 1 ) , y ( − 2 ) , ⋯   , y ( − N ) ] y_s = [y(-1), y(-2), \cdots , y(-N)] ys​=[y(−1),y(−2),⋯,y(−N)]

x s = [ x ( − 1 ) , x ( − 2 ) , ⋯   , x ( − N ) ] x_s = [x(-1), x(-2), \cdots , x(-N)] xs​=[x(−1),x(−2),⋯,x(−N)]

xi 是通过 filtic 函数 计算出来的 , 需要传入 A , B A , B A,B 向量 , 和 ys 和 xs 条件 ;