变量声明：f[i]表示i的父结点，ch[i][0]表示i的左儿子，ch[i][1]表示i的右儿子，key[i]表示i的关键字（即结点i代表的那个数字），cnt[i]表示i结点的关键字出现的次数（相当于权值），size[i]表示包括i的这个子树的大小；sz为整棵树的大小，root为整棵树的根。
再介绍几个基本操作：
【clear操作】：将当前点的各项值都清0（用于删除之后）
- inline void clear(int x){
- ch[x][0]=ch[x][1]=f[x]=cnt[x]=key[x]=size[x]=0;
- }
【get操作】：判断当前点是它父结点的左儿子还是右儿子
- inline int get(int x){
- return ch[f[x]][1]==x;
- }
【update操作】：更新当前点的size值（用于发生修改之后）
- inline void update(int x){
- if (x){
- size[x]=cnt[x];
- if (ch[x][0]) size[x]+=size[ch[x][0]];
- if (ch[x][1]) size[x]+=size[ch[x][1]];
- }
- }
下面boss来了：
【rotate操作图文详解】
这是原来的树，假设我们现在要将D结点rotate到它的父亲的位置。
step 1：
找出D的父亲结点（B）以及父亲的父亲（A）并记录。判断D是B的左结点还是右结点。
step 2：
我们知道要将Drotate到B的位置，二叉树的大小关系不变的话，B就要成为D的右结点了没错吧？
咦？可是D已经有右结点了，这样不就冲突了吗？怎么解决这个冲突呢？
我们知道，D原来是B的左结点，那么rotate过后B就一定没有左结点了对吧，那么正好，我们把G接到B的左结点去，并且这样大小关系依然是不变的，就完美的解决了这个冲突。
这样我们就完成了一次rotate，如果是右儿子的话同理。step 2的具体操作：
我们已经判断了D是B的左儿子还是右儿子，设这个关系为K；将D与K关系相反的儿子的父亲记为B与K关系相同的儿子（这里即为D的右儿子的父亲记为B的左儿子）；将D与K关系相反的儿子的父亲即为B（这里即为把G的父亲记为B）；将B的父亲即为D；将D与K关系相反的儿子记为B（这里即为把D的右儿子记为B）；将D的父亲记为A。
最后要判断，如果A存在（即rotate到的位置不是根的话），要把A的儿子即为D。
显而易见，rotate之后所有牵涉到变化的父子关系都要改变。以上的树需要改变四对父子关系，BG DG BD AB，需要三个操作（BG BD AB）。
step 3：update一下当前点和各个父结点的各个值
【代码】
- inline void rotate(int x){
- int old=f[x],oldf=f[old],which=get(x);
- ch[old][which]=ch[x][which^1];f[ch[old][which]]=old;
- f[old]=x;ch[x][which^1]=old;
- f[x]=oldf;
- if (oldf)
- ch[oldf][ch[oldf][1]==old]=x;
- update(old);update(x);
- }
【splay操作】
其实splay只是rotate的发展。伸展操作只是在不停的rotate，一直到达到目标状态。如果有一个确定的目标状态，也可以传两个参。此代码直接splay到根。
splay的过程中需要分类讨论，如果是三点一线的话（x，x的父亲，x的祖父）需要先rotate x的父亲，否则需要先rotate x本身（否则会形成单旋使平衡树失衡）
- inline void splay(int x){
- for (int fa;(fa=f[x]);rotate(x))
- if (f[fa])
- rotate((get(x)==get(fa)?fa:x));
- root=x;
- }
【insert操作】
其实插入操作是比较简单的，和普通的二叉查找树基本一样。
step 1：如果root=0，即树为空的话，做一些特殊的处理，直接返回即可。
step 2：按照二叉查找树的方法一直向下找，其中：
如果遇到一个结点的关键字等于当前要插入的点的话，我们就等于把这个结点加了一个权值。因为在二叉搜索树中是不可能出现两个相同的点的。并且要将当前点和它父亲结点的各项值更新一下。做一下splay。
如果已经到了最底下了，那么就可以直接插入。整个树的大小要+1，新结点的左儿子右儿子（虽然是空）父亲还有各项值要一一对应。并且最后要做一下他父亲的update（做他自己的没有必要）。做一下splay。
- inline void insert(int v){
- if (root==0) {sz++;ch[sz][0]=ch[sz][1]=f[sz]=0;key[sz]=v;cnt[sz]=1;size[sz]=1;root=sz;return;}
- int now=root,fa=0;
- while (1){
- if (key[now]==v){
- cnt[now]++;update(now);update(fa);splay(now);break;
- }
- fa=now;
- now=ch[now][key[now]<v];
- if (now==0){
- sz++;
- ch[sz][0]=ch[sz][1]=0;key[sz]=v;size[sz]=1;
- cnt[sz]=1;f[sz]=fa;ch[fa][key[fa]<v]=sz;
- update(fa);
- splay(sz);
- break;
- }
- }
- }
【find操作】查询x的排名
初始化：ans=0，当前点=root
和其它二叉搜索树的操作基本一样。但是区别是：
如果x比当前结点小，即应该向左子树寻找，ans不用改变（设想一下，走到整棵树的最左端最底端排名不就是1吗）。
如果x比当前结点大，即应该向右子树寻找，ans需要加上左子树的大小以及根的大小（这里的大小指的是权值）。
不要忘记了再splay一下
- inline int find(int v){
- int ans=0,now=root;
- while (1){
- if (v<key[now])
- now=ch[now][0];
- else{
- ans+=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0);
- if (v==key[now]) {splay(now);return ans+1;}
- ans+=cnt[now];
- now=ch[now][1];
- }
- }
- }
【findx操作】找到排名为x的点
初始化：当前点=root
和上面的思路基本相同：
如果当前点有左子树，并且x比左子树的大小小的话，即向左子树寻找；
否则，向右子树寻找：先判断是否有右子树，然后记录右子树的大小以及当前点的大小（都为权值），用于判断是否需要继续向右子树寻找。
- inline int findx(int x){
- int now=root;
- while (1){
- if (ch[now][0]&&x<=size[ch[now][0]])
- now=ch[now][0];
- else{
- int temp=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0)+cnt[now];
- if (x<=temp)
- return key[now];
- x-=temp;now=ch[now][1];
- }
- }
- }
【求x的前驱（后继），前驱（后继）定义为小于（大于）x，且最大（最小）的数】
这类问题可以转化为将x插入，求出树上的前驱（后继），再将x删除的问题。
其中insert操作上文已经提到。
【pre/next操作】
这个操作十分的简单，只需要理解一点：在我们做insert操作之后做了一遍splay。这就意味着我们把x已经splay到根了。求x的前驱其实就是求x的左子树的最右边的一个结点，后继是求x的右子树的左边一个结点（想一想为什么？）
- inline int pre(){
- int now=ch[root][0];
- while (ch[now][1]) now=ch[now][1];
- return now;
- }
- inline int next(){
- int now=ch[root][1];
- while (ch[now][0]) now=ch[now][0];
- return now;
- }
【del操作】
删除操作是最后一个稍微有点麻烦的操作。
step 1：随便find一下x。目的是：将x旋转到根。
step 2：那么现在x就是根了。如果cnt[root]>1，即不只有一个x的话，直接-1返回。
step 3：如果root并没有孩子，就说名树上只有一个x而已，直接clear返回。
step 4：如果root只有左儿子或者右儿子，那么直接clear root，然后把唯一的儿子当作根就可以了（f赋0，root赋为唯一的儿子）
剩下的就是它有两个儿子的情况。
step 5：我们找到新根，也就是x的前驱（x左子树最大的一个点），将它旋转到根。然后将原来x的右子树接到新根的右子树上（注意这个操作需要改变父子关系）。这实际上就把x删除了。不要忘了update新根。
- inline void del(int x){
- int whatever=find(x);
- if (cnt[root]>1) {cnt[root]--;return;}
- //Only One Point
- if (!ch[root][0]&&!ch[root][1]) {clear(root);root=0;return;}
- //Only One Child
- if (!ch[root][0]){
- int oldroot=root;root=ch[root][1];f[root]=0;clear(oldroot);return;
- }
- else if (!ch[root][1]){
- int oldroot=root;root=ch[root][0];f[root]=0;clear(oldroot);return;
- }
- //Two Children
- int leftbig=pre(),oldroot=root;
- splay(leftbig);
- f[ch[oldroot][1]]=root;
- ch[root][1]=ch[oldroot][1];
- clear(oldroot);
- update(root);
- return;
- }
【总结】
平衡树的本质其实是二叉搜索树，所以很多操作是基于二叉搜索树的操作。
splay的本质是rotate，旋转其实只是为了保证二叉搜索树的平衡性。
所有的操作一定都满足二叉搜索树的性质，所有改变父子关系的操作一定要update。
关键是理解rotate，splay的原理以及每一个操作的原理。
原文：http://blog.****.net/clove_unique/article/details/50630280
完整代码：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MAXN 1000000
int ch[MAXN][2],f[MAXN],size[MAXN],cnt[MAXN],key[MAXN];
int sz,root;
inline void clear(int x){
ch[x][0]=ch[x][1]=f[x]=size[x]=cnt[x]=key[x]=0;
}
inline bool get(int x){
return ch[f[x]][1]==x;
}
inline void update(int x){
if (x){
size[x]=cnt[x];
if (ch[x][0]) size[x]+=size[ch[x][0]];
if (ch[x][1]) size[x]+=size[ch[x][1]];
}
}
inline void rotate(int x){
int old=f[x],oldf=f[old],whichx=get(x);
ch[old][whichx]=ch[x][whichx^1]; f[ch[old][whichx]]=old;
ch[x][whichx^1]=old; f[old]=x;
f[x]=oldf;
if (oldf)
ch[oldf][ch[oldf][1]==old]=x;
update(old); update(x);
}
inline void splay(int x){
for (int fa;fa=f[x];rotate(x))
if (f[fa])
rotate((get(x)==get(fa))?fa:x);
root=x;
}
inline void insert(int x){
if (root==0){sz++; ch[sz][0]=ch[sz][1]=f[sz]=0; root=sz; size[sz]=cnt[sz]=1; key[sz]=x; return;}
int now=root,fa=0;
while(1){
if (x==key[now]){
cnt[now]++; update(now); update(fa); splay(now); break;
}
fa=now;
now=ch[now][key[now]<x];
if (now==0){
sz++;
ch[sz][0]=ch[sz][1]=0;
f[sz]=fa;
size[sz]=cnt[sz]=1;
ch[fa][key[fa]<x]=sz;
key[sz]=x;
update(fa);
splay(sz);
break;
}
}
}
inline int find(int x){
int now=root,ans=0;
while(1){
if (x<key[now])
now=ch[now][0];
else{
ans+=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0);
if (x==key[now]){
splay(now); return ans+1;
}
ans+=cnt[now];
now=ch[now][1];
}
}
}
inline int findx(int x){
int now=root;
while(1){
if (ch[now][0]&&x<=size[ch[now][0]])
now=ch[now][0];
else{
int temp=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0)+cnt[now];
if (x<=temp) return key[now];
x-=temp; now=ch[now][1];
}
}
}
inline int pre(){
int now=ch[root][0];
while (ch[now][1]) now=ch[now][1];
return now;
}
inline int next(){
int now=ch[root][1];
while (ch[now][0]) now=ch[now][0];
return now;
}
inline void del(int x){
int whatever=find(x);
if (cnt[root]>1){cnt[root]--; update(root); return;}
if (!ch[root][0]&&!ch[root][1]) {clear(root); root=0; return;}
if (!ch[root][0]){
int oldroot=root; root=ch[root][1]; f[root]=0; clear(oldroot); return;
}
else if (!ch[root][1]){
int oldroot=root; root=ch[root][0]; f[root]=0; clear(oldroot); return;
}
int leftbig=pre(),oldroot=root;
splay(leftbig);
ch[root][1]=ch[oldroot][1];
f[ch[oldroot][1]]=root;
clear(oldroot);
update(root);
}
int main(){
int n,opt,x;
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d%d",&opt,&x);
switch(opt){
case 1: insert(x); break;
case 2: del(x); break;
case 3: printf("%d\n",find(x)); break;
case 4: printf("%d\n",findx(x)); break;
case 5: insert(x); printf("%d\n",key[pre()]); del(x); break;
case 6: insert(x); printf("%d\n",key[next()]); del(x); break;
}
}
}