对于一个用户来说，他们可能有不同的兴趣。就以作者举的豆瓣书单的例子来说，用户A会关注数学，历史，计算机方面的书，用户B喜欢机器学习，编程语言，离散数学方面的书， 用户C喜欢大师Knuth, Jiawei Han等人的著作。那我们在推荐的时候，肯定是向用户推荐他感兴趣的类别下的图书。那么前提是我们要对所有item（图书）进行分类。那如何分呢？大家注意到没有，分类标准这个东西是因人而异的，每个用户的想法都不一样。拿B用户来说，他喜欢的三个类别其实都可以算作是计算机方面的书籍，也就是说B的分类粒度要比A小；拿离散数学来讲，他既可以算作数学，也可当做计算机方面的类别，也就是说有些item不能简单的将其划归到确定的单一类别；拿C用户来说，他倾向的是书的作者，只看某几个特定作者的书，那么跟A，B相比它的分类角度就完全不同了。
显然我们不能靠由单个人（编辑）或team的主观想法建立起来的分类标准对整个平台用户喜好进行标准化。
此外我们还需要注意的两个问题：
- 我们在可见的用户书单中归结出3个类别，不等于该用户就只喜欢这3类，对其他类别的书就一点兴趣也没有。也就是说，我们需要了解用户对于所有类别的兴趣度。
- 对于一个给定的类来说，我们需要确定这个类中每本书属于该类别的权重。权重有助于我们确定该推荐哪些书给用户。
下面我们就来看看LFM是如何解决上面的问题的？对于一个给定的用户行为数据集（数据集包含的是所有的user, 所有的item，以及每个user有过行为的item列表），使用LFM对其建模后，我们可以得到如下图所示的模型：（假设数据集中有3个user, 4个item, LFM建模的分类数为4）
我们发现使用LFM后，
- 我们不需要关心分类的角度，结果都是基于用户行为统计自动聚类的，全凭数据自己说了算。
- 不需要关心分类粒度的问题，通过设置LFM的最终分类数就可控制粒度，分类数越大，粒度约细。
- 对于一个item，并不是明确的划分到某一类，而是计算其属于每一类的概率，是一种标准的软分类。
- 对于一个user，我们可以得到他对于每一类的兴趣度，而不是只关心可见列表中的那几个类。
- 对于每一个class，我们可以得到类中每个item的权重，越能代表这个类的item，权重越高
那么，接下去的问题就是如何计算矩阵P和矩阵Q中参数值。一般做法就是最优化损失函数来求参数。在定义损失函数之前，我们需要准备一下数据集并对兴趣度的取值做一说明。
数据集应该包含所有的user和他们有过行为的（也就是喜欢）的item。所有的这些item构成了一个item全集。对于每个user来说，我们把他有过行为的item称为正样本，规定兴趣度RUI=1，此外我们还需要从item全集中随机抽样，选取与正样本数量相当的样本作为负样本，规定兴趣度为RUI=0。因此，兴趣的取值范围为[0,1]。
采样之后原有的数据集得到扩充，得到一个新的user-item集K={(U,I)}，其中如果(U,I)是正样本，则RUI=1，否则RUI=0。损失函数如下所示：
上式中的是用来防止过拟合的正则化项，λ需要根据具体应用场景反复实验得到。损失函数的优化使用随机梯度下降算法：
- 通过求参数PUK和QKI的偏导确定最快的下降方向；
- 迭代计算不断优化参数（迭代次数事先人为设置），直到参数收敛。
其中，α是学习速率，α越大，迭代下降的越快。α和λ一样，也需要根据实际的应用场景反复实验得到。本书中，作者在MovieLens数据集上进行实验，他取分类数F=100，α=0.02，λ=0.01。
综上所述，执行LFM需要：
- 根据数据集初始化P和Q矩阵（这是我暂时没有弄懂的地方，这个初始化过程到底是怎么样进行的，还恳请各位童鞋予以赐教。）
- 确定4个参数：分类数F，迭代次数N，学习速率α，正则化参数λ。