R语言基于Bootstrap的线性回归预测置信区间估计方法

2023-10-12 09:22:52

原文链接：http://tecdat.cn/?p=21625

我们知道参数的置信区间的计算，这些都服从一定的分布(t分布、正态分布），因此在标准误前乘以相应的t分值或Z分值。但如果我们找不到合适的分布时，就无法计算置信区间了吗？幸运的是，有一种方法几乎可以用于计算各种参数的置信区间，这就是Bootstrap 法。

本文使用BOOTSTRAP来获得预测的置信区间。我们将在线性回归基础上讨论。


> reg=lm(dist~speed,data=cars)
> points(x,predict(reg,newdata= data.frame(speed=x)))

这是一个单点预测。当我们想给预测一个置信区间时，预测的置信区间取决于参数估计误差。

预测置信区间

让我们从预测的置信区间开始


> for(s in 1:500){
+ indice=sample(1:n,size=n,
+ replace=TRUE)
+ points(x,predict(reg,newdata=data.frame(speed=x)),pch=19,col="blue")

蓝色值是通过在我们的观测数据库中重新取样获得的可能预测值。值得注意的是，在残差正态性假设下（回归线的斜率和常数估计值），置信区间（90%）如下所示：

predict(reg,interval ="confidence",

在这里，我们可以比较500个生成数据集上的值分布，并将经验分位数与正态假设下的分位数进行比较，

> hist(Yx,proba=TRUE
> boxplot(Yx,horizontal=TRUE
> polygon(c( x ,rev(x I]))))

可以看出，经验分位数与正态假设下的分位数是可以比较的。

 > quantile(Yx,c(.05,.95))
      5%      95% 
58.63689 70.31281 
 + level=.9,newdata=data.frame(speed=x)) 
       fit      lwr      upr
1 65.00149 59.65934 70.34364

感兴趣变量的可能值

现在让我们看看另一种类型的置信区间，关于感兴趣变量的可能值。这一次，除了提取新样本和计算预测外，我们还将在每次绘制时添加噪声，以获得可能的值。

> for(s in 1:500){
+ indice=sample(1:n,size=n,
+ base=cars[indice,]
+ erreur=residuals(reg)
+ predict(reg,newdata=data.frame(speed=x))+E

在这里，我们可以（首先以图形方式）比较通过重新取样获得的值和在正态假设下获得的值，

> hist(Yx,proba=TRUE)
> boxplot(Yx) abline(v=U[2:3)
> polygon(c(D$x[I,rev(D$x[I])

数值上给出了以下比较

> quantile(Yx,c(.05,.95))
      5%      95% 
44.43468 96.01357 
U=predict(reg,interval ="prediction"
       fit      lwr      upr
1 67.63136 45.16967 90.09305

这一次，右侧有轻微的不对称。显然，我们不能假设高斯残差，因为有更大的正值，而不是负值。考虑到数据的性质，这是有意义的（制动距离不能是负数）。

然后开始讨论在供应中使用回归模型。为了获得具有独立性，有人认为必须使用增量付款的数据，而不是累计付款。

可以创建一个数据库，解释变量是行和列。

> base=data.frame(
+ y

> head(base,12)
      y   ai bj
1  3209 2000  0
2  3367 2001  0
3  3871 2002  0
4  4239 2003  0
5  4929 2004  0
6  5217 2005  0
7  1163 2000  1
8  1292 2001  1
9  1474 2002  1
10 1678 2003  1
11 1865 2004  1
12   NA 2005  1

然后，我们可以从基于对数增量付款数据的回归模型开始，该模型基于对数正态模型



Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)         7.9471     0.1101  72.188 6.35e-15 ***
as.factor(ai)2001   0.1604     0.1109   1.447  0.17849    
as.factor(ai)2002   0.2718     0.1208   2.250  0.04819 *  
as.factor(ai)2003   0.5904     0.1342   4.399  0.00134 ** 
as.factor(ai)2004   0.5535     0.1562   3.543  0.00533 ** 
as.factor(ai)2005   0.6126     0.2070   2.959  0.01431 *  
as.factor(bj)1     -0.9674     0.1109  -8.726 5.46e-06 ***
as.factor(bj)2     -4.2329     0.1208 -35.038 8.50e-12 ***
as.factor(bj)3     -5.0571     0.1342 -37.684 4.13e-12 ***
as.factor(bj)4     -5.9031     0.1562 -37.783 4.02e-12 ***
as.factor(bj)5     -4.9026     0.2070 -23.685 4.08e-10 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.1753 on 10 degrees of freedom
  (15 observations deleted due to missingness)
Multiple R-squared: 0.9975,	Adjusted R-squared: 0.9949 
F-statistic: 391.7 on 10 and 10 DF,  p-value: 1.338e-11 

> 
exp(predict(reg1,
+ newdata=base)+summary(reg1)$sigma^2/2)

       [,1]   [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 2871.2 1091.3 41.7 18.3  7.8 21.3
[2,] 3370.8 1281.2 48.9 21.5  9.2 25.0
[3,] 3768.0 1432.1 54.7 24.0 10.3 28.0
[4,] 5181.5 1969.4 75.2 33.0 14.2 38.5
[5,] 4994.1 1898.1 72.5 31.8 13.6 37.1
[6,] 5297.8 2013.6 76.9 33.7 14.5 39.3

> sum(py[is.na(y)])
[1] 2481.857

这与链式梯度法的结果略有不同，但仍然具有可比性。我们也可以尝试泊松回归（用对数链接）

glm(y~
+ as.factor(ai)+
+ as.factor(bj),data=base,
+ family=poisson)


Coefficients:
                  Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)        8.05697    0.01551 519.426  < 2e-16 ***
as.factor(ai)2001  0.06440    0.02090   3.081  0.00206 ** 
as.factor(ai)2002  0.20242    0.02025   9.995  < 2e-16 ***
as.factor(ai)2003  0.31175    0.01980  15.744  < 2e-16 ***
as.factor(ai)2004  0.44407    0.01933  22.971  < 2e-16 ***
as.factor(ai)2005  0.50271    0.02079  24.179  < 2e-16 ***
as.factor(bj)1    -0.96513    0.01359 -70.994  < 2e-16 ***
as.factor(bj)2    -4.14853    0.06613 -62.729  < 2e-16 ***
as.factor(bj)3    -5.10499    0.12632 -40.413  < 2e-16 ***
as.factor(bj)4    -5.94962    0.24279 -24.505  < 2e-16 ***
as.factor(bj)5    -5.01244    0.21877 -22.912  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    Null deviance: 46695.269  on 20  degrees of freedom
Residual deviance:    30.214  on 10  degrees of freedom
  (15 observations deleted due to missingness)
AIC: 209.52

Number of Fisher Scoring iterations: 4

> predict(reg2,
newdata=base,type="response")

> sum(py2[is.na(y)])
[1] 2426.985

预测结果与链式梯度法得到的估计值吻合。克劳斯·施密特（Klaus Schmidt）和安吉拉·温什（Angela Wünsche）于1998年在链式梯度法、边际和最大似然估计中建立了与最小偏差方法的联系。