奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。
一、回顾特征值和特征向量
我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：
\[
Ax=\lambda x
\]
其中A是一个\(n \times n\)的实对称矩阵，\(x\)是一个\(n\)维向量，则我们说\(\lambda\)是矩阵A的一个特征值，而\(x\)是矩阵A的特征值\(\lambda\)所对应的特征向量。
求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的\(n\)个特征值\(\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq ... \leq \lambda_n\),以及这\(n\)个特征值所对应的特征向量\(\{w_1,w_2,...w_n\}\)，，如果这\(n\)个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：
\[
A=W\Sigma W^{-1}
\]
其中W是这\(n\)个特征向量所张成的\(n \times n\)维矩阵，而\(\Sigma\)为这n个特征值为主对角线的\(n \times n\)维矩阵。
一般我们会把W的这\(n\)个特征向量标准化，即满足\(|w_i|_2 =1\), 或者说\(w_i^Tw_i =1\)，此时W的\(n\)个特征向量为标准正交基，满足\(W^TW=I\)，即\(W^T=W^{-1}\), 也就是说W为酉矩阵。
这样我们的特征分解表达式可以写成
\[
A=W\Sigma W^T
\]
注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。
二、 SVD的定义
SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个\(m \times n\)的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：
\[
A = U\Sigma V^T
\]
其中U是一个\(m \times m\)的矩阵，\(\Sigma\)是一个\(m \times n\)的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个\(n \times n\)的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足\(U^TU=I, V^TV=I\)。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：
那么我们如何求出SVD分解后的\(U, \Sigma, V\)这三个矩阵呢？
如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到\(n \times n\)的一个方阵\(A^TA\)。既然\(A^TA\)是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
\[
(A^TA)v_i = \lambda_i v_i
\]
这样我们就可以得到矩阵\(A^TA\)的n个特征值和对应的n个特征向量\(v\)了。将\(A^TA\)的所有特征向量张成一个\(n \times n\)的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。
如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到\(m \times m\)的一个方阵\(AA^T\)。既然\(AA^T\)是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
\[
(AA^T)u_i = \lambda_i u_i
\]
这样我们就可以得到矩阵\(AA^T\)的m个特征值和对应的m个特征向量\(u\)了。将\(AA^T\)的所有特征向量张成一个\(m \times m\)的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。
U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵\(\Sigma\)没有求出了。由于\(\Sigma\)除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值\(\sigma\)就可以了。
我们注意到:
\[
A=U\Sigma V^T \Rightarrow AV=U\Sigma V^TV \Rightarrow AV=U\Sigma \Rightarrow Av_i = \sigma_i u_i \Rightarrow \sigma_i = Av_i / u_i
\]
这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵\(\Sigma\)。
上面还有一个问题没有讲，就是我们说\(A^TA\)的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而\(AA^T\)的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。
\[
A=U\Sigma V^T \Rightarrow A^T=V\Sigma^T U^T \Rightarrow A^TA = V\Sigma^T U^TU\Sigma V^T = V\Sigma^2V^T
\]
上式证明使用了:\(U^TU=I, \Sigma^T\Sigma=\Sigma^2。\)可以看出\(A^TA\)的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到\(AA^T\)的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。
进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：
\[
\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}
\]
这样也就是说，我们可以不用$ \sigma_i = Av_i / u_i\(来计算奇异值，也可以通过求出\)A^TA$的特征值取平方根来求奇异值。
三、SVD计算举例
这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：
\[ \mathbf{A} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right) \]
我们首先求出\(A^TA\)和\(AA^T\)
\[ \mathbf{A^TA} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1 &1\\ 1&1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2& 1 \\ 1& 2 \end{array} \right) \]
\[ \mathbf{AA^T} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0& 1 &1\\ 1&1& 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 0\\ 1& 2 & 1\\ 0& 1& 1 \end{array} \right) \]
进而求出\(A^TA\)的特征值和特征向量：
\[
\lambda_1= 3; v_1 = \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{2} \\
1/\sqrt{2} \end{array} \right); \lambda_2= 1; v_2 = \left( \begin{array}{ccc}
-1/\sqrt{2} \\
1/\sqrt{2} \end{array} \right)
\]
接着求\(AA^T\)的特征值和特征向量：
\[
\lambda_1= 3; u_1 = \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\
1/\sqrt{6} \end{array} \right); \lambda_2= 1; u_2 = \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{2} \\ 0 \\
-1/\sqrt{2} \end{array} \right); \lambda_3= 0; u_3 = \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \\
1/\sqrt{3} \end{array} \right)
\]
利用\(Av_i = \sigma_i u_i, i=1,2\)求奇异值：
\[ \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right) = \sigma_1 \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{6} \end{array} \right) \Rightarrow \sigma_1=\sqrt{3} \]
\[ \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right) = \sigma_2 \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ -1/\sqrt{2} \end{array} \right) \Rightarrow \sigma_2=1 \]
当然，我们也可以用\(\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}\)直接求出奇异值为\(\sqrt{3}\)和1.
最终得到A的奇异值分解为：
\[
A=U\Sigma V^T = \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} \\ 2/\sqrt{6} & 0 & -1/\sqrt{3}\\
1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
\sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1\\
0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\
-1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{array} \right)
\]
四、SVD的一些性质
上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？
对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：
\[
A_{m \times n} = U_{m \times m}\Sigma_{m \times n} V^T_{n \times n} \approx U_{m \times k}\Sigma_{k \times k} V^T_{k \times n}
\]
其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵\(U_{m \times k},\Sigma_{k \times k} ,V^T_{k \times n}\)来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。
由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。
五、SVD用于PCA
在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵\(X^TX\)的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵\(X^TX\)，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。
注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵\(X^TX\)最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵\(X^TX\)，也能求出我们的右奇异矩阵\(V\)。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。
另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？
假设我们的样本是\(m \times n\)的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵\(XX^T\)最大的d个特征向量张成的\(m \times d\)维矩阵U，则我们如果进行如下处理：
\[
X'_{d \times n} = U_{d \times m}^TX_{m \times n}
\]
可以得到一个\(d \times n\)的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的\(m \times n\)维样本矩阵X相比，行数从m减到了d，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。
六、SVD小结
SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。
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