文章目录
0.引言
大家好，我是执念斩长河。一个刚刚专升本成功的普通学渣。最近几周刚开学，学习了离散数学。离散数学前期概念太多，而且我上课前不预习，下课后不复习。导致什么都不会，把自己都整懵掉了。今天下课立马打开书本，开始看起来。自己证明24个重要的等值式
数学符号，全用latex。如果大家latex不会用，可查看此专栏：latex专栏。话不多说，开始自己证明
1.双重否定律
请证明： ¬ ¬ A ⇔ A \neg\neg{A}\Leftrightarrow{A} ¬¬A⇔A
| A | ¬ A \neg{A} ¬A | ¬ ¬ A \neg\neg{A} ¬¬A | A |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
利用真值表，证明完毕
2.等幂律
∨
\vee
∨
∧
\wedge
∧
请证明：
A
∨
A
⇔
A
A
∧
A
⇔
A
A\vee{A} \Leftrightarrow{A}\\ A\wedge{A}\Leftrightarrow{A}
A∨A⇔AA∧A⇔A
记住口诀，下串同一为一，上并同0为0.
这句口诀意思是指，
∨
\vee
∨符号向上，所以像并联一样，左值与右值同0才为0，其余位置写1
∧
\wedge
∧符号向下，所以像串联一样，左值与右值同时为1，才为1.其余位置写成0.
| A | A ∨ A A\vee{A} A∨A | A |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| A | A ∧ A A\wedge{A} A∧A | A |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
利用真值表，证明完毕。
3.交换律
请证明
A
∨
B
⇔
B
∨
A
A
∧
B
⇔
B
∧
A
A\vee{B}\Leftrightarrow{B\vee{A}}\\ A\wedge{B}\Leftrightarrow{B\wedge{A}}
A∨B⇔B∨AA∧B⇔B∧A
| A | B | A ∨ B A\vee{B} A∨B | B ∨ A B\vee{A} B∨A |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| A | B | A ∧ B A\wedge{B} A∧B | B ∧ A B\wedge{A} B∧A |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
利用真值表，证明完毕
4.结合律
请证明：
(
A
∨
B
)
∨
C
⇔
A
∨
(
B
∨
C
)
(
A
∧
B
)
∧
C
⇔
A
∧
(
B
∧
C
)
(A\vee{B})\vee{C}\Leftrightarrow{A\vee({B}\vee{C})}\\ (A\wedge{B})\wedge{C}\Leftrightarrow{A\wedge({B}\wedge{C})}
(A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)
| A | B | C | A ∨ B A\vee{B} A∨B | B ∨ C B\vee{C} B∨C | ( A ∨ B ) ∨ C (A\vee{B})\vee{C} (A∨B)∨C | A ∨ ( B ∨ C ) A\vee({B}\vee{C}) A∨(B∨C) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| A | B | C | A ∧ B A\wedge{B} A∧B | B ∧ C B\wedge{C} B∧C | ( A ∧ B ) ∧ C (A\wedge{B})\wedge{C} (A∧B)∧C | A ∧ ( B ∧ C ) A\wedge({B}\wedge{C}) A∧(B∧C) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
利用真值表，计算完毕
5. 分配律
请证明：
A
∨
(
B
∧
C
)
⇔
(
A
∨
B
)
∧
(
A
∨
C
)
A
∧
(
B
∨
C
)
⇔
(
A
∧
B
)
∨
(
A
∧
C
)
A\vee({B\wedge{C}}) \Leftrightarrow{(A\vee{B})\wedge{(A\vee{C})}}\\ A\wedge({B\vee{C}}) \Leftrightarrow{(A\wedge{B})\vee{(A\wedge{C})}}\\
A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)
| A | B | C | B ∧ C B\wedge{C} B∧C | A ∨ B A\vee{B} A∨B | A ∨ C A\vee{C} A∨C | A ∨ ( B ∧ C ) A\vee{(B\wedge{C})} A∨(B∧C) | ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) (A\vee{B})\wedge(A\vee{C}) (A∨B)∧(A∨C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| A | B | C | B ∨ C B\vee{C} B∨C | A ∧ B A\wedge{B} A∧B | A ∧ C A\wedge{C} A∧C | A ∧ ( B ∨ C ) A\wedge{(B\vee{C})} A∧(B∨C) | ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) (A\wedge{B})\vee(A\wedge{C}) (A∧B)∨(A∧C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
利用真值表，证明完毕。
6.吸收律
请证明：
A
∨
(
A
∧
B
)
⇔
A
A
∧
(
A
∨
B
)
⇔
A
A\vee{(A\wedge{B})}\Leftrightarrow{A}\\ A\wedge{(A\vee{B})}\Leftrightarrow{A}\\
A∨(A∧B)⇔AA∧(A∨B)⇔A
| A | B | A ∧ B A\wedge{B} A∧B | A ∨ ( A ∧ B ) A\vee{(A\wedge{B})} A∨(A∧B) | A |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| A | B | A ∨ B A\vee{B} A∨B | A ∧ ( A ∨ B ) A\wedge{(A\vee{B})} A∧(A∨B) | A |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
由真值表得，证明完毕。
7. 德·摩根律
请证明：
¬
(
A
∨
B
)
⇔
¬
A
∧
¬
B
¬
(
A
∧
B
)
⇔
¬
A
∨
¬
B
\neg{(A\vee{B})}\Leftrightarrow{\neg{A}\wedge{\neg{B}}}\\ \neg{(A\wedge{B})}\Leftrightarrow{\neg{A}\vee{\neg{B}}}
¬(A∨B)⇔¬A∧¬B¬(A∧B)⇔¬A∨¬B
| A | B | ¬ A \neg{A} ¬A | ¬ B \neg{B} ¬B | A ∨ B A\vee{B} A∨B | ¬ ( A ∨ B ) \neg{(A\vee{B})} ¬(A∨B) | ¬ A ∧ ¬ B \neg{A}\wedge{\neg{B}} ¬A∧¬B |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| A | B | ¬ A \neg{A} ¬A | ¬ B \neg{B} ¬B | A ∧ B A\wedge{B} A∧B | ¬ ( A ∧ B ) \neg{(A\wedge{B})} ¬(A∧B) | ¬ A ∨ ¬ B \neg{A}\vee{\neg{B}} ¬A∨¬B |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
根据真值表，证明完毕
8.零律
请证明：
A
∨
1
⇔
1
A
∧
0
⇔
0
A\vee{1}\Leftrightarrow{1}\\ A\wedge{0}\Leftrightarrow{0}\\
A∨1⇔1A∧0⇔0
| A | 1 | A ∨ 1 A\vee{1} A∨1 | 1 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| A | 0 | A ∧ 0 A\wedge{0} A∧0 | 0 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
根据真值表，证明完毕
9.同一律
请证明
A
∨
0
⇔
A
A
∧
1
⇔
A
A\vee{0}\Leftrightarrow{A}\\ A\wedge{1}\Leftrightarrow{A}\\
A∨0⇔AA∧1⇔A
| A | 0 | A ∨ 0 A\vee{0} A∨0 | A |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| A | 1 | A ∧ 1 A\wedge{1} A∧1 | A |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
10.排中律
请证明：
A
∨
¬
A
⇔
A
A\vee{\neg{A}}\Leftrightarrow{A}
A∨¬A⇔A
| A | ¬ A \neg{A} ¬A | A ∨ ¬ A A\vee{\neg{A}} A∨¬A | 1 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
证明完毕
11.矛盾律
请证明：
A
∧
¬
A
⇔
0
A\wedge{\neg{A}}\Leftrightarrow{0}
A∧¬A⇔0
| A | ¬ A \neg{A} ¬A | A ∧ ¬ A A\wedge{\neg{A}} A∧¬A | 0 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
证明完毕
12 .蕴含等值式
请证明：
A
→
B
⇔
¬
A
∨
B
A\rightarrow{B}\Leftrightarrow{\neg{A}\vee{B}}
A→B⇔¬A∨B
| A | B | ¬ A \neg{A} ¬A | A → B A\rightarrow{B} A→B | ¬ A ∨ B \neg{A}\vee{B} ¬A∨B |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
证明完毕
13.等价等值式
请证明
A
↔
B
⇔
(
A
→
B
)
∧
(
B
→
A
)
A\leftrightarrow{B}\Leftrightarrow{(A\rightarrow{B})\wedge{(B\rightarrow{A})}}
A↔B⇔(A→B)∧(B→A)
| A | B | A ↔ B A\leftrightarrow{B} A↔B | A → B A\rightarrow{B} A→B | B → A B\rightarrow{A} B→A | ( A → B ) ∧ ( B → A ) (A\rightarrow{B})\wedge{(B\rightarrow{A})} (A→B)∧(B→A) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
14.假言易位
请证明:
A
→
B
⇔
¬
B
→
¬
A
A\rightarrow{B}\Leftrightarrow{\neg{B}\rightarrow{\neg{A}}}
A→B⇔¬B→¬A
| A | B | ¬ A \neg{A} ¬A | ¬ B \neg{B} ¬B | A → B A\rightarrow{B} A→B | ¬ B → ¬ A \neg{B}\rightarrow{\neg{A}} ¬B→¬A |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
证明完毕
15.等价否定等值式
请证明:
A
↔
B
⇔
¬
A
↔
¬
B
A\leftrightarrow{B}\Leftrightarrow{\neg{A}\leftrightarrow{\neg{B}}}
A↔B⇔¬A↔¬B
| A | B | ¬ A \neg{A} ¬A | ¬ B \neg{B} ¬B | A ↔ B A\leftrightarrow{B} A↔B | ¬ A ↔ ¬ B \neg{A}\leftrightarrow{\neg{B}} ¬A↔¬B |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
证明完毕
16.归谬论
请证明:
(
A
→
B
)
∧
(
A
→
¬
B
)
⇔
¬
A
(A\rightarrow{B})\wedge{(A\rightarrow{\neg{B}})}\Leftrightarrow{\neg{A}}
(A→B)∧(A→¬B)⇔¬A
| A | B | ¬ A \neg{A} ¬A | ¬ B \neg{B} ¬B | A → B A\rightarrow{B} A→B | A → ¬ B A\rightarrow{\neg{B}} A→¬B | ( A → B ) ∧ ( A → ¬ B ) (A\rightarrow{B})\wedge{(A\rightarrow{\neg{B}})} (A→B)∧(A→¬B) | ¬ A \neg{A} ¬A |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
证明完毕