爬楼梯问题： . - 力扣（LeetCode）
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
示例 2：
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
提示：
1 <= n <= 45
（1）解题思路1:
暴力求解，排列所有1，2的组合。
寻找总和为n的，不同数字长度的组合。
from itertools import product
def climbStairs(n):
pms = []
for rep in range(1,n+1):
permutations = list(product([1,2],repeat=rep))
for pm in permutations:
if sum(pm) == n:
pms.append(pm)
return len(pms)
※ itertools是python为高效循环而创建迭代器的函数库 。product就是一个笛卡尔积（嵌套for循环）功能实现的函数。
- 时间复杂度O(n^3)
- 空间复杂度O(n)
（2）解题思路2:
问题寻找的是爬楼梯的方法数量，而不是具体统计每次走几阶。
所以问题关注的是每次爬1阶、爬2阶两种走法的组合上。
假设n=3，可以直接排列一下相应的组合
3 = 1 + 1 + 1
3 = 2 + 1
3 = 1 + 2
简单直观，但我们要寻找的爬楼梯的规律。似乎还没有发现，继续增加n的数量~
当n=4：
4 = 1 + 1 + 1 + 1
4 = 2 + 1 + 1
4 = 1 + 2 + 1
4 = 1 + 1 + 2
4 = 2 + 2
当n=5时：
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
5 = 2 + 1 + 1 + 1
5 = 1 + 2 + 1 + 1
5 = 1 + 1 + 2 + 1
5 = 2 + 2 + 1
5 = 1 + 1 + 1 + 2
5 = 2 + 1 + 2
5 = 1 + 2 + 2
排列组合的方式，让我们似乎观察到了数值的规律。那就是n阶的走法，包含了n-1阶和n-2阶的走法。且 n阶的走法 = (n-1)阶走法 + (n-2)阶走法
简单的循环遍历就可以完成走法的累加：
n = 5
n1,n2 = 1,2 # n=1和n=2情况下的走法
res = 0
for i in range(3, n+1): # 从n=3时开始，直到n
res = n1 + n2
n1 = n2
n2 = res
print(res)
测试下n=6，结果(n-1) + (n-2) = 8 + 5 = 13
还可以转换为递归写法
def climbStairs(n):
if n <= 1:
return 1
return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2)
至此，就是暴力算法的解题思路，所有可能的组合都做一遍。
（3）动态规划（DP）：解题思路
依据上面算法特征分析的基础上，使用一个数组动态存储n的计算结果。
初始化数组，预先存入n-1和n-2的结果
def climbStairs(n):
if n <= 1:
return n
dp = [i for i in range(n+1)]
for i in range(3,n+1):
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
return dp[-1]
上面代码中的dp就是我们提到的数组，其中dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。
循环执行完成后，数组中最后一次计算的结果就是爬n阶楼梯的方法数。
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
对于空间复杂度，还可以进一步优化。由于我们只考虑n以及n-1、n-2的值。所以，中间的过程值可以丢弃。定义一个固定长度的数组，每次计算结果动态覆盖，如下：
def climbStairs(n):
if n <= 1:
return n
dp = [0,1,2]
for i in range(3,n+1):
sum = dp[1] + dp[2]
dp[1] = dp[2]
dp[2] = sum
return dp[2]
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
（4）动态规划理论
学习动态规划算法，是从多种题解的思路中学习和发现。众多技术高手都给出了思路和技巧，但从实际出发，建议还是先埋头做题，积累了练习和分析思考后，再进行看高手的总结和归纳才会有“英雄所见略同”的共识。
在这之前，针对每道题目的分析，希望能思考如下的几个问题：
-
题目计算的目标是什么
走台阶问题的目标是求走法组合总数。
-
计算分解的子问题是什么
(n-1)阶走法 、(n-2)阶走法就是n阶走法的子问题 ****
-
转移方程是否是子问题的组合
转移方程上面已经写出来了 f(n) = f(n-1)+f(n-2) 。
-
能否优化
使用动态数组或字典来存储中间结果，可以有效的减少重复计算的复杂度。
当然，涉及到使用数组等容器来实现计算和优化时，还会接触到背包问题。