材料准备
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1.回顾傅里叶级数的复数形式

\(任意周期为2l的周期可以展开为以下的傅里叶级数\)
\(f(x)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i\frac{n\pi x}{l}}\)
\(c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{l}} dx,n=0,\pm1,\pm2,...\)
\(这里把2l标记为T,\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2l}=\frac{\pi}{l},叫角频率或者基频率,则有\)
\(f_T(x)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i n\omega_0 x}--1式\)
\(c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-i n\omega_0 x} dx,n=0,\pm1,\pm2,...--2式\)

2.时域,频域-不同角度看待\(f(x)\)

\(观察1式,C_n是复数形式也就是a+bi\)
\(这是C_n的图像\)

\(其实应该是两维的,x轴是n\omega_0,y轴是C_n,但因为C_n是复数,所以这里展示的是三维图\)
\(所以这个图其实是表示的f(x),这个叫频域表达,或者频谱\)
\(而一般的以T为x轴的是时域表达,时谱\)

\(这就是从不同的角度看世界\)

3.非周期函数的表达,\(T\rightarrow \infty\)

\(非周期函数就是T\rightarrow \infty\)

\(1.当T\rightarrow \infty ， \Delta \omega \rightarrow 无穷小\)

\(因为\delta \omega=(n+1)\omega_0 -n\omega_0 = \omega_0=\frac{2\pi}{T}\)
\(此时两个点之间的间距\delta \omega 无穷小意味着离散点变成了连续函数,包括横坐标不用叫n\omega_0,直接就是\omega\)

\(2.将2式代入1式,整理公式\)

\(f_T(x)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-i n\omega_0 x} dxe^{i n\omega_0 x}\)
\(因为\frac{1}{T}=\frac{\Delta \omega}{2\pi},代入\)
\(f_T(x)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\frac{\Delta \omega}{2\pi}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-i n\omega_0 x} dxe^{i n\omega_0 x}\)
\(重点来了\)
\(随着T\rightarrow \infty\)
\(1.积分部分\int_{-T/2}^{T/2} 就变成了 \int_{-\infty}^{+\infty}\)
\(2.n\omega_0 变成了\omega\)
\(3.\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\Delta \omega 就变成了 \int_{-\infty}^{+\infty} d\omega\)
\(最后得到了\)
\(f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i \omega x} dxe^{i \omega x} d\omega\)
\(中间部分就是傅里叶变换公式\)
\(FT,F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i \omega x} dx\)
\(傅里叶逆变换f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i \omega x}d\omega\)