前缀和(8)_矩阵区域和

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前缀和(8)_矩阵区域和

收录于专栏【经典算法练习
本专栏旨在分享学习算法的一点学习笔记,欢迎大家在评论区交流讨论????

目录

温馨提示:

1. 题目链接 :

2. 题目描述 :

3. 解法(二维前缀和) :

    题目解释:

    算法思路 :

    二位前缀和模板快速记忆:

1. 求二维前缀和

2. 使用二维前缀和

    细节处理:

    代码展示 :

    结果分析 :


温馨提示:

本题需要使用二维前缀和模板,如果大家还不知道的话,可以查看下篇博客:

前缀和(2)_【模板】二维前缀和_模板-****博客

1. 题目链接 :

OJ链接: 矩阵区域和

2. 题目描述 :

给你一个 m x n 的矩阵 mat 和一个整数 k ,请你返回一个矩阵 answer ,其中每个 answer[i][j] 是所有满足下述条件的元素 mat[r][c] 的和: 

    i - k <= r <= i + k,
    j - k <= c <= j + k 且
    (r, c) 在矩阵内。


    示例 1:

    输入:mat = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]], k = 1
    输出: [[12, 21, 16], [27, 45, 33], [24, 39, 28]]


    示例 2:

    输入:mat = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]], k = 2
    输出: [[45, 45, 45], [45, 45, 45], [45, 45, 45]]


    提示:

    m == mat.length
    n == mat[i].length
    1 <= m, n, k <= 100
    1 <= mat[i][j] <= 100

3. 解法(二维前缀和) :

    题目解释:

 

就是目标点向四周延申k个,然后求出在合法区间的总和 

    算法思路 :

二维前缀和的简单应用题,关键就是我们在填写结果矩阵的时候,要找到原矩阵对应区域的[左上角]以及[右下角]的坐标(推荐大家画图)

左上角坐标: x1 = i - k, y1 = j - k, 但是由于会[超过矩阵]的范围,因此需要对0取一个max.因此修正后的坐标为: x2 = min(m - 1, i + k) y2 = min(n - 1, j + k)

然后将求出出来的坐标带入到[二位前缀和矩阵]的计算公式上即可~(但是要注意下标的映射关系,放到下面分析)

    二位前缀和模板快速记忆:

1. 求二维前缀和

首先划出草图,我们这里的思路是:

将当前整个面积分成dp[x - 1][y] + dp[x][y - 1] + nums[x][y]

因为dp[x - 1][y - 1]多加了一次,我们需要在减去一次dp[x - 1][y - 1]

公式为 : dp[x][y] = dp[x - 1][y] + dp[x][y - 1] + nums[x][y] - dp[x - 1][y - 1]

 

2. 使用二维前缀和

首先划出草图,我们这里的思路是:

将当前整个面积分成dp[x1 - 1][y1 - 1] dp[x2][y1 - 1] dp[x1 - 1][y2]

公式为 : ret = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 -1] + dp[x1 -1][y1 - 1]

 

    细节处理:

 下标的映射关系:

因为题目原数组从0开始,我们的二维前缀和数组需要访问-1的位置,这样就会导致访问未知内存程序崩溃,所以我们可以将第0行第0列不填数,规避这道题的边界问题.

 

    代码展示 :

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {
        int n = mat.size(), m = mat[0].size();
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int> (m + 1));

        //求前缀和
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= m; j++)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + mat[i - 1][j - 1] - dp[i - 1][j - 1];

        //使用前缀和
        vector<vector<int>> ret(n, vector<int> (m));
        for(int i = 0; i < n; i++)
            for(int j = 0; j < m; j++)
            {
                int x1 = max(0, i - k) + 1, y1 = max(0, j - k) + 1;
                int x2 = min(n - 1, i + k) + 1, y2 = min(m - 1, j + k) + 1;
                ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1- 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
            }
        return ret;
    }
};

代码分析:

前缀和计算:
        使用 dp 数组来存储 mat 的前缀和。dp[i][j] 表示从 mat[0][0] 到 mat[i - 1][j - 1] 的所有元素的和。
        前缀和的公式为:
dp[i][j] = dp[i−1][j] + dp[i][j−1] + mat[i−1][j−1]−dp[i−1][j−1]
        这样,dp 数组的每个元素能够快速计算出任意子矩阵的和。
块和计算:
        使用前缀和 dp 来计算每个元素的块和:
        计算块的边界:
                左上角(x1, y1) 为(max(0, i - k) + 1, max(0, j - k) + 1)
                右下角(x2, y2) 为(min(n - 1, i + k) + 1, min(m - 1, j + k) + 1)

        利用前缀和公式来计算块和:
块和 = dp[x2][y2]−dp[x1−1][y2]−dp[x2][y1−1] + dp[x1−1][y1−1]
结果存储:
        将每个块的和存储在 ret 数组中,并最终返回。

 

    结果分析 :

时间复杂度
前缀和的计算时间复杂度为O(n×m),因为需要遍历整个矩阵一次。
计算每个元素的块和的时间复杂度也是O(n×m),同样是遍历整个矩阵一次。
因此,总的时间复杂度为:O(n×m)
空间复杂度
dp 数组的大小为(n + 1)×(m + 1),因此空间复杂度为O(n×m)。
ret 数组的大小为n×m,也为O(n×m)。
因此,总的空间复杂度也是:O(n×m)

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