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经典线性规划（LP）问题是计算机科学和运筹学中最基础的问题之一，广泛应用于全球经济的诸多领域，如制造业、网络等。LP已经成为数学规划的基石，并极大地推动了当今数据驱动决策的建模和算法框架的发展。如果要优化某个问题，通常可以假设LP会涉及其中。
自20世纪40年代以来，LP求解方法取得了长足的进步，其中最常用的是Dantzig提出的单纯形法和各种内点法。尽管现代商用LP求解器仍然广泛采用这些方法，但在处理非常大规模的实例时，面临着计算资源的挑战。为应对这一局限，近年来，针对大规模LP问题的一级方法（FOMs）开始受到关注。
基于此背景，推出了新的一级方法LP求解器——PDLP（基于LP的原-对偶混合梯度算法）。PDLP利用矩阵-向量乘法而非矩阵分解，大大减少了内存需求，且更适合现代计算技术如GPU和分布式系统，提供了一种可扩展的替代方案，有效解决了传统LP方法在内存和计算效率方面的不足。PDLP作为开源项目，已集成到Google的OR-Tools中。自2018年开始研发，PDLP项目于2024年7月在国际数学规划研讨会上荣获Beale-Orchard-Hays奖，这一奖项是计算优化领域的最高荣誉之一，每三年由数学优化学会颁发。
LP和一级方法的发展
当前最先进的LP求解器在扩展时面临重大挑战。其主要瓶颈在于矩阵分解带来的计算限制，尤其是在求解线性方程时：
- 内存溢出：使用单纯形法的LP求解器（如Google的GLOP）依赖LU分解，而使用内点法的求解器则采用Cholesky分解。随着问题规模的增大，这些分解操作会占用远超LP实例本身的内存。
- 硬件相关问题：传统LP方法在利用现代计算架构（如GPU或分布式系统）时遇到困难，因为稀疏矩阵分解通常需要高度顺序化的操作，限制了并行计算的潜力。
鉴于这些局限，FOMs成为解决大规模LP问题的有力替代方案。与依赖矩阵分解的方法不同，FOMs利用梯度信息进行迭代更新，主要的计算需求是矩阵-向量乘法。这种方法仅需存储LP实例本身，避免了额外的内存开销。此外，FOMs在机器学习和深度学习领域的进步提高了其在现代计算平台上的可扩展性，使其在处理大规模和复杂的LP任务时尤为高效。
重新启动的原-对偶混合梯度法（PDHG）
原-对偶混合梯度法（PDHG）在图像处理领域广为人知。当其应用于LP时，主要的计算需求仍是矩阵-向量乘法，从而不再需要矩阵分解。这使得PDHG在大规模计算任务中效率颇高，但在LP求解中，PDHG的可靠性较低。比如在383个基准测试实例中，PDHG仅能解决113个问题，并且精度一般。
为提高PDHG在LP问题中的可靠性，开发了重新启动的PDHG方法。这种方法采用了双循环结构，当满足重新启动条件时，计算PDHG迭代的平均值，并从此平均点重新启动。通过这种策略，可以显著加快收敛速度。
PDLP的五项改进
PDLP是基于重新启动PDHG开发的软件包，通过以下五个改进大幅提高了求解效率：
- 预处理：简化LP问题，消除不一致的约束、重复行等，降低问题复杂度。
- 预调节：通过重新缩放LP中的变量和约束，优化问题的数值条件，加速收敛。
- 不可行性检测：利用PDHG迭代信息来检测问题的可行性和有界性，避免额外计算开销。
- 自适应重启：通过智能决策何时重启PDHG，加速高精度解的收敛。
- 自适应步长：动态调整步长，减少手动调优的需求，提升算法表现。
PDLP作为Google OR-Tools开源软件的一部分，支持Python、C++、Java和C#接口，更多使用细节可在OR-Tools文档中找到。
应用场景
PDLP的扩展性和速度提升开辟了新的应用场景，以下是三个典型案例：
- 数据中心网络流量工程：Google的数据中心依赖动态优化流量路由，之前因规模过大无法快速求解。PDLP的引入使得可以高效优化整个数据中心网络的流量路由，大幅节约计算资源。
- 集装箱运输优化：全球供应链的关键任务之一是优化船舶的港口访问顺序和集装箱的摆放位置。PDLP使得可以求解这类优化问题的线性松弛版本，帮助量化启发式算法的质量。
- 旅行商问题（TSP）：TSP是经典的计算难题，PDLP在求解大型TSP问题的下界LP实例上展示了强大的能力，远超现有商用求解器。
更广泛的影响
自发布以来，PDLP吸引了广泛关注。其GPU实现版本cuPDLP.jl已经开源，并被商用求解器公司Cardinal Optimizer和开源求解器HiGHS分别在2024年1月和3月版本中集成。学术界也在不断拓展PDLP的理论基础，涵盖了新的分析方法、轨迹分析等领域，推动PDLP在更复杂问题上的应用。PDLP的影响力仍在持续扩大，推动了计算优化领域的新突破。