【问题】
已知函数f(x)=e^x-ln(x+m),求证m<=2时，证明f(x)>0 （2013年高考全国卷II理科第21题）
【出处】
《高中数学解题思维策略》P30 例2-11 杨林军编著
【解答】
对于y=e^x,总有e^x>=x+1 (x=0时去等)
对于y=ln(x+m),总有y=x+m-1>=ln(x+m) （x+m=1时取等）
如对于y=ln(x+2)，总有x+1>=ln(x+2)
对于y=ln(x+1),总有x>ln(x+1)
所以，f(x)=e^x-ln(x+m)>(x+1)-(x+m-1)=2-m 不取等号因为切点不会是同一横坐标
故m<=2时，f(x)>0
证毕。下面将用图线辅助思考。
下图是m取不同值时的f(x)=e^x-ln(x+m)曲线
下面是m=2时三条曲线相比的示意图：
下面是m=1时四条曲线相比的示意图：
【图一代码】
<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
<title>UNASSIGNED</title>
<style type="text/css">
.centerlize{
margin:0 auto;
border:0px solid red;
width:1200px;height:600px;
}
</style>
</head>
<body onload="draw();">
<div class="centerlize">
<canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">
如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
</canvas>
</div>
</body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/
// 系统常量定义处
const TITLE="图一 f(x)=e^x-ln(x+m) 图线 "; // 图像标题
const WIDTH=1200; // 画布宽度
const HEIGHT=600; // 画布高度
const SCALE_UNIT=50; // 缩放比例 25对应x∈[-24,24],100对应x∈[-6,6]
// 系统变量定义处
var context=0; // 画布环境
var stage; // 舞台对象
var timeElapsed=0; // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000; // 动画运作的期限
//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){
document.title=TITLE;
// 画图前初始化
var canvas=document.getElementById('myCanvas');
canvas.width=WIDTH;
canvas.height=HEIGHT;
context=canvas.getContext('2d');
// 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
// 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向
// 处置完毕后，原点移动到画布*，向右为X正向，向上为Y的正向
context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
context.rotate(Math.PI);
context.scale(-1,1);
// 初始化舞台
stage=new Stage();
// 开始动画
animate();
};
//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){
timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1
stage.update(timeElapsed);
stage.paintBg(context);
stage.paint(context);
if(timeElapsed<TIME_END){
window.requestAnimationFrame(animate);
}
}
//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
// 内置对象(非必要勿更改)
var obj=new Object;
// 对象下的曲线数组(非必要勿更改)
obj.curves=[];
// 塞入曲线1(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=e^x-ln(x+2)",
xEnd:3,
x:-2,
y:0,
setY:function(x){
this.y=Math.pow(Math.E,x)-Math.log(x+2);// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else{
this.pts1.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
});
// 塞入曲线2(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=e^x-ln(x+1)",
xEnd:3,
x:-1,
y:0,
setY:function(x){
this.y=Math.pow(Math.E,x)-Math.log(x+1);// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else{
this.pts1.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
});
// 塞入曲线3(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=e^x-ln(x+0)",
xEnd:3,
x:0,
y:0,
setY:function(x){
this.y=Math.pow(Math.E,x)-Math.log(x+0);// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else{
this.pts1.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
});
// 塞入曲线4(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=e^x-ln(x-1)",
xEnd:3,
x:-1,
y:0,
setY:function(x){
this.y=Math.pow(Math.E,x)-Math.log(x-1);// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else{
this.pts1.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
});
// 塞入曲线5(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=e^x-ln(x+3)",
xEnd:3,
x:-3,
y:0,
setY:function(x){
this.y=Math.pow(Math.E,x)-Math.log(x+3);// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else{
this.pts1.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
});
// 随时间更新位置(非必要勿更改)
obj.update=function(t){
for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
var curve=this.curves[i];
if(curve.x<curve.xEnd){
curve.x+=0.01;
curve.setY(curve.x);
}
}
};
// 画前景
obj.paint=function(ctx){
// 手动标记点
//paintPoint(ctx,1,0,"a","navy");
//paintPoint(ctx,0,1,"b","navy");
// 文字左上角位置(可手动修改设定值)
const X_START=-230; // 文字横起点
const Y_START=150; // 文字纵起点
const OFFSET=50; // 文字间隔
// 遍历曲线数组(非必要勿更改)
for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
var curve=this.curves[i];
var color=getColor(i);
// 曲线名称
drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,color,18);
// 曲线当前点坐标
drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+" Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,color,18);
// 绘制曲线
if(curve.pts0){
paintCurve(ctx,color,curve.pts0);
// 绘制曲线分段1的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts0);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts1){
paintCurve(ctx,color,curve.pts1);
// 绘制曲线分段2的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts1);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts2){
paintCurve(ctx,color,curve.pts2);
// 绘制曲线分段3的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts2);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts3){
paintCurve(ctx,color,curve.pts3);
// 绘制曲线分段4的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts3);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts4){
paintCurve(ctx,color,curve.pts4);
// 绘制曲线分段4的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts3);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
}
};
// 画背景(非必要不更改)
obj.paintBg=function(ctx){
// 清屏
ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);
ctx.fillStyle="rgb(251,255,253)";
ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);
// 画X轴
drawAxisX(ctx,-600,600,50);
// 画Y轴
drawAxisY(ctx,-300,300,50);
// 画网格线
drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);
// 左上角标题
var metrics = ctx.measureText(TITLE);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth+3,HEIGHT/2-30,"grey",18);
// 右下角作者，日期
const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();
metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);
textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);
};
return obj;
}
// 描绘并标识一个点
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){
var xReal=x*SCALE_UNIT;
var yReal=y*SCALE_UNIT;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.lineWidth=0.5;
// 划线
ctx.save();
ctx.setLineDash([5,5]);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(xReal,0);
ctx.lineTo(xReal,yReal);
ctx.lineTo(0,yReal);
ctx.stroke();
ctx.restore();
// 画圈
ctx.beginPath();
ctx.arc(xReal,yReal,4,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
// 写文字
var metrics = ctx.measureText(text);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,text,xReal+textWidth+2,yReal-5,color,12);
}
// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
ctx.save();
ctx.strokeStyle = color;
ctx.lineWidth=1;
ctx.beginPath();
for(var i=0; i<cds.length; i++){
let y=cds[i].y;
if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){
ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT);
}
}
ctx.stroke();
ctx.restore();
}
// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){
if(cds.length<1){
return null;
}
var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};
for(var i=0;i<cds.length;i++){
var y=cds[i].y;
if(y>retval.max){
retval.max=y;
retval.max_x=cds[i].x;
}
if(y<retval.min){
retval.min=y;
retval.min_x=cds[i].x;
}
}
return retval;
}
// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){
if(mm==null){
return;
}
// 最大值
var x=mm.max_x;
var y=mm.max;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
// 最小值
var x=mm.min_x;
var y=mm.min;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
}
// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
ctx.fillStyle=color;
ctx.fill();
ctx.restore();
}
// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1,y1);
ctx.lineTo(x2,y2);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
ctx.restore();
}
// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
const AXISY_COLOR="black";
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;
// 画轴
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(start, 0);
ctx.lineTo(end, 0);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画箭头
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
ctx.lineTo(end, 0);
ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画刻度
var x,y;
y=5;
for(x=start;x<end;x+=step){
if(x==0){
continue;
}
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, 0);
ctx.lineTo(x, y);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
var text=formatScale(x/SCALE_UNIT);
drawText(ctx,text,x,y-20,AXISY_COLOR,12);
}
ctx.restore();
}
// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
const AXISY_COLOR="black";
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;
// 画轴
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(0, start);
ctx.lineTo(0, end);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画箭头
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
ctx.lineTo(0, end);
ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画刻度
var x,y;
x=5;
for(y=start;y<end;y+=step){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y);
ctx.lineTo(0, y);
var text=formatScale(y/SCALE_UNIT);
var metrics = ctx.measureText(text);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
ctx.restore();
}
//-------------------------------
// 得到整型后的刻度
//-------------------------------
function formatScale(scale){
var s=scale*10;
if(s % 5==0){
return scale+"";
}else{
return scale.toFixed(2);
}
}
// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle="lightgrey";
// 分十格
var x,y;
for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y1);
ctx.lineTo(x, y2);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1, y);
ctx.lineTo(x2, y);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
// 十小格间的分割线
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle="grey";
ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段
for(x=x1;x<x2;x+=step1){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y1);
ctx.lineTo(x, y2);
ctx.stroke();
}
for(y=y1;y<y2;y+=step2){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1, y);
ctx.lineTo(x2, y);
ctx.stroke();
}
ctx.restore();
}
//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
return degree/180*Math.PI;
}
//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
var arr=[
"maroon" /* 栗色 */,
"orange" /* 橙色 */,
"blue" /* 蓝色 */,
"green" /* 绿色 */,
"fuchsia"/* 紫红 */,
"grey" /* 灰色 */,
"lime" /* 酸橙 */,
"navy" /* 海蓝 */,
"purple" /* 紫色 */,
"skyblue"/* 天蓝 */,
"teal" /* 蓝绿 */,
"yellow" /* 亮黄 */,
"aqua" /* 湖绿 */,
"red" /* 红色 */,
"black" /* 黑色 */,
];
return arr[index % arr.length];
}
//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
ctx.save();
ctx.translate(x,y)
ctx.rotate(getRad(180))
ctx.scale(-1,1)
ctx.textBaseline="bottom";
ctx.textAlign="center";
ctx.fillStyle=color;
ctx.font = size+"px consolas";
ctx.fillText(text,0,0);
ctx.restore();
}
// JS开立方
function kaiLiFang(x){
if(x>0){
return Math.pow(x,1/3);
}else{
return -Math.pow(-x,1/3);
}
}
//-->
/****************************************
遇到事情，要学会沉住气，在默默无闻中积攒
力量，等待厚积薄发的一天。
****************************************/
</script>【图二代码】
<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
<title>UNASSIGNED</title>
<style type="text/css">
.centerlize{
margin:0 auto;
border:0px solid red;
width:1200px;height:600px;
}
</style>
</head>
<body onload="draw();">
<div class="centerlize">
<canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">
如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
</canvas>
</div>
</body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/
// 系统常量定义处
const TITLE="图二 f(x)=e^x-ln(x+2) 图线 "; // 图像标题
const WIDTH=1200; // 画布宽度
const HEIGHT=600; // 画布高度
const SCALE_UNIT=50; // 缩放比例 25对应x∈[-24,24],100对应x∈[-6,6]
// 系统变量定义处
var context=0; // 画布环境
var stage; // 舞台对象
var timeElapsed=0; // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000; // 动画运作的期限
//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){
document.title=TITLE;
// 画图前初始化
var canvas=document.getElementById('myCanvas');
canvas.width=WIDTH;
canvas.height=HEIGHT;
context=canvas.getContext('2d');
// 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
// 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向
// 处置完毕后，原点移动到画布*，向右为X正向，向上为Y的正向
context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
context.rotate(Math.PI);
context.scale(-1,1);
// 初始化舞台
stage=new Stage();
// 开始动画
animate();
};
//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){
timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1
stage.update(timeElapsed);
stage.paintBg(context);
stage.paint(context);
if(timeElapsed<TIME_END){
window.requestAnimationFrame(animate);
}
}
//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
// 内置对象(非必要勿更改)
var obj=new Object;
// 对象下的曲线数组(非必要勿更改)
obj.curves=[];
// 塞入曲线1(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=e^x-ln(x+2)",
xEnd:3,
x:-2,
y:0,
setY:function(x){
this.y=Math.pow(Math.E,x)-Math.log(x+2);// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else{
this.pts1.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
});
// 塞入曲线2(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=e^x",
xEnd:3,
x:-2,
y:0,
setY:function(x){
this.y=Math.pow(Math.E,x);// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else{
this.pts1.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
});
// 塞入曲线3(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=x+1",
xEnd:3,
x:-2,
y:0,
setY:function(x){
this.y=x+1;// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else{
this.pts1.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
});
// 塞入曲线4(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=ln(x+2)",
xEnd:3,
x:-2,
y:0,
setY:function(x){
this.y=Math.log(x+2);// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else{
this.pts1.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
});
// 随时间更新位置(非必要勿更改)
obj.update=function(t){
for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
var curve=this.curves[i];
if(curve.x<curve.xEnd){
curve.x+=0.01;
curve.setY(curve.x);
}
}
};
// 画前景
obj.paint=function(ctx){
// 手动标记点
//paintPoint(ctx,1,0,"a","navy");
//paintPoint(ctx,0,1,"b","navy");
// 文字左上角位置(可手动修改设定值)
const X_START=-230; // 文字横起点
const Y_START=150; // 文字纵起点
const OFFSET=50; // 文字间隔
// 遍历曲线数组(非必要勿更改)
for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
var curve=this.curves[i];
var color=getColor(i);
// 曲线名称
drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,color,18);
// 曲线当前点坐标
drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+" Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,color,18);
// 绘制曲线
if(curve.pts0){
paintCurve(ctx,color,curve.pts0);
// 绘制曲线分段1的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts0);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts1){
paintCurve(ctx,color,curve.pts1);
// 绘制曲线分段2的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts1);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts2){
paintCurve(ctx,color,curve.pts2);
// 绘制曲线分段3的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts2);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts3){
paintCurve(ctx,color,curve.pts3);
// 绘制曲线分段4的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts3);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts4){
paintCurve(ctx,color,curve.pts4);
// 绘制曲线分段4的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts3);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
}
};
// 画背景(非必要不更改)
obj.paintBg=function(ctx){
// 清屏
ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);
ctx.fillStyle="rgb(251,255,253)";
ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);
// 画X轴
drawAxisX(ctx,-600,600,50);
// 画Y轴
drawAxisY(ctx,-300,300,50);
// 画网格线
drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);
// 左上角标题
var metrics = ctx.measureText(TITLE);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth+3,HEIGHT/2-30,"grey",18);
// 右下角作者，日期
const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();
metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);
textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);
};
return obj;
}
// 描绘并标识一个点
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){
var xReal=x*SCALE_UNIT;
var yReal=y*SCALE_UNIT;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.lineWidth=0.5;
// 划线
ctx.save();
ctx.setLineDash([5,5]);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(xReal,0);
ctx.lineTo(xReal,yReal);
ctx.lineTo(0,yReal);
ctx.stroke();
ctx.restore();
// 画圈
ctx.beginPath();
ctx.arc(xReal,yReal,4,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
// 写文字
var metrics = ctx.measureText(text);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,text,xReal+textWidth+2,yReal-5,color,12);
}
// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
ctx.save();
ctx.strokeStyle = color;
ctx.lineWidth=1;
ctx.beginPath();
for(var i=0; i<cds.length; i++){
let y=cds[i].y;
if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){
ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT);
}
}
ctx.stroke();
ctx.restore();
}
// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){
if(cds.length<1){
return null;
}
var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};
for(var i=0;i<cds.length;i++){
var y=cds[i].y;
if(y>retval.max){
retval.max=y;
retval.max_x=cds[i].x;
}
if(y<retval.min){
retval.min=y;
retval.min_x=cds[i].x;
}
}
return retval;
}
// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){
if(mm==null){
return;
}
// 最大值
var x=mm.max_x;
var y=mm.max;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
// 最小值
var x=mm.min_x;
var y=mm.min;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
}
// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
ctx.fillStyle=color;
ctx.fill();
ctx.restore();
}
// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1,y1);
ctx.lineTo(x2,y2);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
ctx.restore();
}
// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
const AXISY_COLOR="black";
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;
// 画轴
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(start, 0);
ctx.lineTo(end, 0);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画箭头
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
ctx.lineTo(end, 0);
ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画刻度
var x,y;
y=5;
for(x=start;x<end;x+=step){
if(x==0){
continue;
}
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, 0);
ctx.lineTo(x, y);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
var text=formatScale(x/SCALE_UNIT);
drawText(ctx,text,x,y-20,AXISY_COLOR,12);
}
ctx.restore();
}
// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
const AXISY_COLOR="black";
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;
// 画轴
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(0, start);
ctx.lineTo(0, end);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画箭头
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
ctx.lineTo(0, end);
ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画刻度
var x,y;
x=5;
for(y=start;y<end;y+=step){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y);
ctx.lineTo(0, y);
var text=formatScale(y/SCALE_UNIT);
var metrics = ctx.measureText(text);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
ctx.restore();
}
//-------------------------------
// 得到整型后的刻度
//-------------------------------
function formatScale(scale){
var s=scale*10;
if(s % 5==0){
return scale+"";
}else{
return scale.toFixed(2);
}
}
// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle="lightgrey";
// 分十格
var x,y;
for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y1);
ctx.lineTo(x, y2);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1, y);
ctx.lineTo(x2, y);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
// 十小格间的分割线
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle="grey";
ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段
for(x=x1;x<x2;x+=step1){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y1);
ctx.lineTo(x, y2);
ctx.stroke();
}
for(y=y1;y<y2;y+=step2){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1, y);
ctx.lineTo(x2, y);
ctx.stroke();
}
ctx.restore();
}
//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
return degree/180*Math.PI;
}
//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
var arr=[
"maroon" /* 栗色 */,
"orange" /* 橙色 */,
"blue" /* 蓝色 */,
"green" /* 绿色 */,
"fuchsia"/* 紫红 */,
"grey" /* 灰色 */,
"lime" /* 酸橙 */,
"navy" /* 海蓝 */,
"purple" /* 紫色 */,
"skyblue"/* 天蓝 */,
"teal" /* 蓝绿 */,
"yellow" /* 亮黄 */,
"aqua" /* 湖绿 */,
"red" /* 红色 */,
"black" /* 黑色 */,
];
return arr[index % arr.length];
}
//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
ctx.save();
ctx.translate(x,y)
ctx.rotate(getRad(180))
ctx.scale(-1,1)
ctx.textBaseline="bottom";
ctx.textAlign="center";
ctx.fillStyle=color;
ctx.font = size+"px consolas";
ctx.fillText(text,0,0);
ctx.restore();
}
// JS开立方
function kaiLiFang(x){
if(x>0){
return Math.pow(x,1/3);
}else{
return -Math.pow(-x,1/3);
}
}
//-->
/****************************************
遇到事情，要学会沉住气，在默默无闻中积攒
力量，等待厚积薄发的一天。
****************************************/
</script>【图三代码】
<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
<title>UNASSIGNED</title>
<style type="text/css">
.centerlize{
margin:0 auto;
border:0px solid red;
width:1200px;height:600px;
}
</style>
</head>
<body onload="draw();">
<div class="centerlize">
<canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">
如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
</canvas>
</div>
</body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/
// 系统常量定义处
const TITLE="图三 f(x)=e^x-ln(x+1) 图线 "; // 图像标题
const WIDTH=1200; // 画布宽度
const HEIGHT=600; // 画布高度
const SCALE_UNIT=50; // 缩放比例 25对应x∈[-24,24],100对应x∈[-6,6]
// 系统变量定义处
var context=0; // 画布环境
var stage; // 舞台对象
var timeElapsed=0; // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000; // 动画运作的期限
//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){
document.title=TITLE;
// 画图前初始化
var canvas=document.getElementById('myCanvas');
canvas.width=WIDTH;
canvas.height=HEIGHT;
context=canvas.getContext('2d');
// 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
// 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向
// 处置完毕后，原点移动到画布*，向右为X正向，向上为Y的正向
context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
context.rotate(Math.PI);
context.scale(-1,1);
// 初始化舞台
stage=new Stage();
// 开始动画
animate();
};
//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){
timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1
stage.update(timeElapsed);
stage.paintBg(context);
stage.paint(context);
if(timeElapsed<TIME_END){
window.requestAnimationFrame(animate);
}
}
//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
// 内置对象(非必要勿更改)
var obj=new Object;
// 对象下的曲线数组(非必要勿更改)
obj.curves=[];
// 塞入曲线1(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=e^x-ln(x+1)",
xEnd:3,
x:-2,
y:0,
setY:function(x){
this.y=Math.pow(Math.E,x)-Math.log(x+1);// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else{
this.pts1.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
});
// 塞入曲线2(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=e^x",
xEnd:3,
x:-2,
y:0,
setY:function(x){
this.y=Math.pow(Math.E,x);// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else{
this.pts1.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
});
// 塞入曲线3(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=x+1",
xEnd:3,
x:-2,
y:0,
setY:function(x){
this.y=x+1;// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else{
this.pts1.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
});
// 塞入曲线4(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=ln(x+1)",
xEnd:3,
x:-1,
y:0,
setY:function(x){
this.y=Math.log(x+1);// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else{
this.pts1.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
});
// 塞入曲线5(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=x",
xEnd:3,
x:-3,
y:0,
setY:function(x){
this.y=x;// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else{
this.pts1.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
});
// 随时间更新位置(非必要勿更改)
obj.update=function(t){
for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
var curve=this.curves[i];
if(curve.x<curve.xEnd){
curve.x+=0.01;
curve.setY(curve.x);
}
}
};
// 画前景
obj.paint=function(ctx){
// 手动标记点
//paintPoint(ctx,1,0,"a","navy");
//paintPoint(ctx,0,1,"b","navy");
// 文字左上角位置(可手动修改设定值)
const X_START=-230; // 文字横起点
const Y_START=150; // 文字纵起点
const OFFSET=50; // 文字间隔
// 遍历曲线数组(非必要勿更改)
for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
var curve=this.curves[i];
var color=getColor(i);
// 曲线名称
drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,color,18);
// 曲线当前点坐标
drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+" Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,color,18);
// 绘制曲线
if(curve.pts0){
paintCurve(ctx,color,curve.pts0);
// 绘制曲线分段1的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts0);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts1){
paintCurve(ctx,color,curve.pts1);
// 绘制曲线分段2的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts1);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts2){
paintCurve(ctx,color,curve.pts2);
// 绘制曲线分段3的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts2);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts3){
paintCurve(ctx,color,curve.pts3);
// 绘制曲线分段4的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts3);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts4){
paintCurve(ctx,color,curve.pts4);
// 绘制曲线分段4的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts3);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
}
};
// 画背景(非必要不更改)
obj.paintBg=function(ctx){
// 清屏
ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);
ctx.fillStyle="rgb(251,255,253)";
ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);
// 画X轴
drawAxisX(ctx,-600,600,50);
// 画Y轴
drawAxisY(ctx,-300,300,50);
// 画网格线
drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);
// 左上角标题
var metrics = ctx.measureText(TITLE);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth+3,HEIGHT/2-30,"grey",18);
// 右下角作者，日期
const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();
metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);
textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);
};
return obj;
}
// 描绘并标识一个点
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){
var xReal=x*SCALE_UNIT;
var yReal=y*SCALE_UNIT;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.lineWidth=0.5;
// 划线
ctx.save();
ctx.setLineDash([5,5]);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(xReal,0);
ctx.lineTo(xReal,yReal);
ctx.lineTo(0,yReal);
ctx.stroke();
ctx.restore();
// 画圈
ctx.beginPath();
ctx.arc(xReal,yReal,4,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
// 写文字
var metrics = ctx.measureText(text);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,text,xReal+textWidth+2,yReal-5,color,12);
}
// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
ctx.save();
ctx.strokeStyle = color;
ctx.lineWidth=1;
ctx.beginPath();
for(var i=0; i<cds.length; i++){
let y=cds[i].y;
if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){
ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT);
}
}
ctx.stroke();
ctx.restore();
}
// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){
if(cds.length<1){
return null;
}
var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};
for(var i=0;i<cds.length;i++){
var y=cds[i].y;
if(y>retval.max){
retval.max=y;
retval.max_x=cds[i].x;
}
if(y<retval.min){
retval.min=y;
retval.min_x=cds[i].x;
}
}
return retval;
}
// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){
if(mm==null){
return;
}
// 最大值
var x=mm.max_x;
var y=mm.max;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
// 最小值
var x=mm.min_x;
var y=mm.min;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
}
// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
ctx.fillStyle=color;
ctx.fill();
ctx.restore();
}
// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1,y1);
ctx.lineTo(x2,y2);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
ctx.restore();
}
// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
const AXISY_COLOR="black";
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;
// 画轴
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(start, 0);
ctx.lineTo(end, 0);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画箭头
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
ctx.lineTo(end, 0);
ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画刻度
var x,y;
y=5;
for(x=start;x<end;x+=step){
if(x==0){
continue;
}
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, 0);
ctx.lineTo(x, y);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
var text=formatScale(x/SCALE_UNIT);
drawText(ctx,text,x,y-20,AXISY_COLOR,12);
}
ctx.restore();
}
// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
const AXISY_COLOR="black";
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;
// 画轴
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(0, start);
ctx.lineTo(0, end);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画箭头
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
ctx.lineTo(0, end);
ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画刻度
var x,y;
x=5;
for(y=start;y<end;y+=step){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y);
ctx.lineTo(0, y);
var text=formatScale(y/SCALE_UNIT);
var metrics = ctx.measureText(text);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
ctx.restore();
}
//-------------------------------
// 得到整型后的刻度
//-------------------------------
function formatScale(scale){
var s=scale*10;
if(s % 5==0){
return scale+"";
}else{
return scale.toFixed(2);
}
}
// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle="lightgrey";
// 分十格
var x,y;
for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y1);
ctx.lineTo(x, y2);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1, y);
ctx.lineTo(x2, y);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
// 十小格间的分割线
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle="grey";
ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段
for(x=x1;x<x2;x+=step1){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y1);
ctx.lineTo(x, y2);
ctx.stroke();
}
for(y=y1;y<y2;y+=step2){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1, y);
ctx.lineTo(x2, y);
ctx.stroke();
}
ctx.restore();
}
//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
return degree/180*Math.PI;
}
//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
var arr=[
"maroon" /* 栗色 */,
"orange" /* 橙色 */,
"blue" /* 蓝色 */,
"green" /* 绿色 */,
"fuchsia"/* 紫红 */,
"grey" /* 灰色 */,
"lime" /* 酸橙 */,
"navy" /* 海蓝 */,
"purple" /* 紫色 */,
"skyblue"/* 天蓝 */,
"teal" /* 蓝绿 */,
"yellow" /* 亮黄 */,
"aqua" /* 湖绿 */,
"red" /* 红色 */,
"black" /* 黑色 */,
];
return arr[index % arr.length];
}
//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
ctx.save();
ctx.translate(x,y)
ctx.rotate(getRad(180))
ctx.scale(-1,1)
ctx.textBaseline="bottom";
ctx.textAlign="center";
ctx.fillStyle=color;
ctx.font = size+"px consolas";
ctx.fillText(text,0,0);
ctx.restore();
}
// JS开立方
function kaiLiFang(x){
if(x>0){
return Math.pow(x,1/3);
}else{
return -Math.pow(-x,1/3);
}
}
//-->
/****************************************
遇到事情，要学会沉住气，在默默无闻中积攒
力量，等待厚积薄发的一天。
****************************************/
</script>