一、前言

二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但如果数据有序或者接近有序，二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson - Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的办法：当向二叉搜索树中插入新节点后，如果能保证每个节点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的节点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

二、概念

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1（-1/0/1）

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个节点，其高度可保持在O(logN)，搜索时间复杂度为O(logN)。

三、节点的定义

AVL树节点的定义：

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left; // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _right; // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _parent; // 该节点的父节点
	pair<K, V> _kv; 

	int _bf; // balance factor，平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

四、插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。插入的过程分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	// 1.先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;

	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
		cur->_parent = parent;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
		cur->_parent = parent;
	}

	// 2.调整节点的平衡因子
	while (parent)
	{
		// 更新双亲的平衡因子
		if (cur == parent->_left)
		{
			parent->_bf--;
		}
		else
		{
			parent->_bf++;
		}

		// 更新后检测双亲的平衡因子
		if (parent->_bf == 0)
		{
			break;
		}

		// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因子为-1或1，说明以双亲为根的二叉树的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}

		// 双亲的平衡因子为-2或2，违反了AVL树的平衡性，需要对以parent为根的树进行旋转处理
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateL(parent); // 左旋
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateR(parent); // 右旋
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateRL(parent); // 先右旋再左旋
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateLR(parent); // 先左旋再右旋
			}
			break;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	return true;
}

五、旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

5.1 新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1.  30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2.  60可能是根节点，也可能是子树

如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点;

如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

// 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	parent->_left = subLR;
	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;

	Node* parentParent = parent->_parent;

	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;

	if (_root == parent)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parentParent->_left == parent)
		{
			parentParent->_left = subL;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subL;
		}

		subL->_parent = parentParent;
	}

	subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

5.2 新节点插入较高右子树的右侧——右右：左单旋

// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	parent->_right = subRL;
	subR->_left = parent;

	Node* parentParent = parent->_parent;

	parent->_parent = subR;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;

	if (_root == parent)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parentParent->_left == parent)
		{
			parentParent->_left = subR;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subR;
		}

		subR->_parent = parentParent;
	}

	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

5.3 新节点插入较高右子树的左侧——右左：先右单旋再左单旋

// 先右单旋再左单旋
void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;

	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);

	if (bf == 0)
	{
		// subRL自己就是新增
		parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		// subRL的左子树新增
		parent->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		// subRL的右子树新增
		parent->_bf = -1;
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

5.4 新节点插入较高左子树的右侧——左右：先左单旋再右单旋

参考右左单旋。

六、性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(logN)。