博弈的策略式表述方法

博弈的策略式表述

1. 博弈参与人（Players）

   • \(N\)-参与人的集合
   • \(i\)-参与人

2. 博弈参与人的策略集（Strategy sets）

   • \(S_i\)-参与人的策略集
   • \(s_i\)-参与人的策略集的一个元素
   • 所有参与人的策略放在一起，称之为博弈的策略组合，表示为\(s = (s_1, s_2, … s_n)\)

3. 博弈参与人的支付函数

   • \(u_i\)-参与人\(i\)的支付函数\(i\isin N\)
     \(u_i(s_1, s_2, s_3,..., s_i,..., s_n)\)

囚徒困境和公地悲剧——个人与集体

囚徒困境

对于选择坦白，对面无论是坦白或者抵赖，选择坦白的结果均好于抵赖，可知，坦白属于占优策略

指在博弈中参与人的某一个策略，不管对方使用什么策略，只要参与人使用这一策略，都可以给自己带来最大的支付，此时称为占优策略

（-8，-8）称为占优策略均衡

囚徒困境揭示了这样一个个人利益和集体利益的关系：个人正确理性的选择往往会造成最坏的结局，降低集体的福利，而集体的最优则必然侵害个人利益的最大化。

公地悲剧

在没有监管的情况下，人们倾向于无节制地侵占共用资源以获得最大利益

占优策略和劣策略

占优策略：是指不论对手选择什么，自己的某个策略都不比其他策略差的策略。

如果自己的某个策略严格强于（收益大于）任何其他策略，那么该策略还被称为严格占优策略。

占优均衡：如果每个参与人都存在占优策略，那么这些占优策略放在一起，构成了博弈的占优均衡。

劣策略：是指不论对手选择什么，自己都不会选择的策略。

对于劣策略。可以直接剔除以简化博弈，如果剔除到最后只留下唯一一个策略组合，那么这个策略组合就是我们说的重复剔除严格劣策略均衡。如果存在重复剔除严格劣策略均衡，那么我们说这个博弈是重复剔除劣策略可解的。

理性共识

零阶理性共识：每个人都是理性的，但不知道其他人是否理性；

一阶理性共识：除了要求每个人都是理性的，还要求每个人都知道其他人是理性的

二阶理性共识：每个人是理性的，同时每个人知道其他人是理性的，并且每个人知道其他人知道自己是理性的；

最优反应

对于博弈的策略式表述\(G =(N, Si, ui)\),$ i \isin N$

对于参与人\(i\)，给定其他参与人策略组合\(s_{-i}\)，i关于的最优反应集是满足如下条件参与人\(i\)的策略集\(B_i(s_-i)=\{s_i \isin S_i |u_i(s_i,s_-i>=u_i(s_i‘,s_{-i}),for all s_i\}\)

最优反应是关于其他人策略的函数，只与其他人策略有关。

纳什均衡

对于博弈的策略式表述\(G=(N,S_i,u_i),i \isin N\)

对于任意的参与人\(i \isin N\)，如存在一个策略组合\(s^*=(s_i^{*},s_{-i}^{*})\)满足

对于一个纳什均衡，所有人的策略都是其他人策略的最优反应

待思考

纳什均衡强调的是个体最优，但对于整体、社会来说，则未必是好的。比如被大家责骂的过分应试教育；缺乏监管下的黑心食品生产商；缺乏监管的网购欺诈；囚徒困境和公地悲剧；过分竞争市场的恶性竞争等

囚徒困境的一般形式

• 条件一：T>R>P>S
• 条件2：R+R>T+S

对于1972年，Alchian & Demsets在《美国经济评论》上发表了《生产、信息成本和经济组织》一文，提出了解决方案：使其中人一成为所有者，另一人变成雇员，让前者监督后者。

对于所有者，偷懒是严格劣策略，所以所有者一定会选择工作。雇员选择工作为最优反应。

连续策略中的二人合作

参与人1与参与人2合作一个项目，如果每个人都付出，双方都会获得合作收益。

二人的策略为选择努力水平a1和a2，努力水平的取值范围为闭区间[0, 4]。

对于参与人来说，如果双方的努力水平为a1和a2，他们的收益如下：

参与人1：\(u_1 = a_1(2+a_2-a_1)\)

参与人2: \(u_2=a_2(2+a_1-a_2)\)

假设第一个人努力为4，此时第二个人最优选择为3，当第二个人选择为3时，第一个人的最优反应为2.5.....，以此类推，最终当两个人的努力程度都为2时，达到一个纳什均衡，为（4，4）。

然而，当两人都选择付出最大努力时两人的收益是(8，8)，大于纳什均衡的最优值，这也体现了囚徒困境

算法博弈论_2_策略式表述博弈