clear

format rat   %format函数控制输出格式 format rat是小数去用分数输出表示

A=[,,,;,-,,;,,,;,,,];

B=[;;;];

S=length(A(:,))

R=rank(A)

if S==R

   X=A\B

else

   fprintf('error\n')

end

clear

A=[,-,,,;,,-,-,-;,-,,,-;,,,-,];

b=[;;;];

B=[A,b];

n=length(A(,:))

RA=rank(A)

RB=rank(B)

if RA==RB

   if RA==n

      X=A\b

   else

      D=rref(B)

   end

else

   fprintf('No Solution for the Equations')

end

clear

A=[,,,,-;,,,,-;,-,,-,-;,,,,-];

R=rank(A)

%X=rref(A)

%仅仅用rref的话，本题的秩=<，方程有非零解，需要自己再去做

%因此不必用rref，MATLAB提供了一个求矩阵令空间的函数null来方便求解

Y=null(A,'r')

clear

A=[,,-,-;,-,,;,,-,;,-,,];

b=[-;;;];

B=[A,b];

RA=rank(A)

RB=rank(B)

Y=null(A,'r')

n=length(b)

if RA==RB

   if RA==n

      X=A\B      %方程组满秩时，求出唯一解

   else

      p=pinv(A)*b    %在方程组不满秩时，求出特解

      Y=null(A,'r')  %求出方程组的基础解系

      n1=length(Y(,:))

      k=sym(['kI'])  %这里是ki，是为了把数组k说明成字符型变量

      for i=:n1     %求出方程的全部解

         k(i)=strcat('k',num2str(i))

         p=p+k(i)*Y(:,i)

      end

   end

else

   fprintf('No Solution for the Equations')

end

x=-:0.1:;

y1=*x.^+x.^-;

plot(x,y1,'r')

%x是向量，所以计算一定要表示成点乘

%函数

function y2=draw2(x)

y2=sin(x)+x;

end

%在命令行输入

fplot(@draw2,[-,])

y3='x.^2*exp(-x.^2)';

ezplot(y3)

syms x

y=log10(x+sqrt(+x.^));

dy=diff(y,x);%求导函数，但x不能先定义为向量，所以用subs让x1作为一符号代替表达式y中的默认变量

x1=-:0.1:;

y1=subs(y,x1);

dy1=subs(dy,x1);

plot(x1,y1,'r',x1,dy1,'b')

t=:0.1:*pi;

x=cos(t);

y=sin(t);

z=t;

plot3(x,y,z)

t=:0.1:*pi;

x=/*cos(t)+/;

y=/*sin(t);

z=sqrt(-x.^-y.^);

plot3(x,y,z)

s=-:0.1:;

t=-:0.1:;

[x,y]=meshgrid(s,t);%由两向量生成网格点(x,y)，与mesh()配合使用

z=x.^-y.^;

mesh(x,y,z);%绘制着色的三维网纹去年

s=-pi/:pi/:pi/;

[X,Y,Z]=cylinder(./s,);%绘制用向量表示的曲线围绕x轴旋转的曲面，与surf()配合使用，相当于mesh()

surf(X,Y,Z);
%mesh(X,Y,Z);

clear;

sum=;

for k=:

    sum=sum+k;%s=s+k

end

sum

%while循环

clear;

s=;

k=;

while k<

    s=s+k;

    k=k+;

end

s

%编写函数

function y=fsy42(x)

if x>

    y=x*x

else

    y=x*x*x

end

%以文件名fsy42.m保存在磁盘上，接着编写程序：

fplot(@fsy42,[-,])

%算N9

clear;

s=;

k=;

while(s<=)

    s=s+/k;

    k=k+;

end

N9=k-

%算N20

clear;

s=;

k=;

while(s<=)

    s=s+/k;

    k=k+;

end

N20=k-

clear;

k=;

s=;

while(k<)

   n=input('请输入数字：');

   if(n>)

       s=s+n;

   end

   k=k+;

end

s

num=sqrt(s)

>> help limit

--- sym/limit 的帮助 ---

 limit    Limit of an expression.

    limit(F,x,a) takes the limit of the symbolic expression F as x -> a.

    limit(F,a) uses symvar(F) as the independent variable.

    limit(F) uses a =  as the limit point.

    limit(F,x,a,'right') or limit(F,x,a,'left') specify the direction

    of a one-sided limit.

    Examples:

      syms x a t h;

      limit(sin(x)/x)                 returns

      limit((x-)/(x^-),)          returns   /

      limit((+*t/x)^(*x),x,inf)    returns   exp(*t)

      limit(/x,x,,'right')          returns   inf

      limit(/x,x,,'left')           returns   -inf

      limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,)  returns   cos(x)

      v = [( + a/x)^x, exp(-x)];

      limit(v,x,inf,'left')           returns   [exp(a),  ]

>> help diff

diff - Differences and Approximate Derivatives

    This MATLAB function calculates differences between adjacent elements of X along

    the first array dimension whose size does not equal :

    Y = diff(X)

    Y = diff(X,n)

    Y = diff(X,n,dim)

>> help pretty

--- sym/pretty 的帮助 ---

 pretty Pretty print a symbolic expression.

    pretty is not recommended. Use live scripts instead.

    Live scripts provide full math rendering while pretty uses plain-text formatting.

    pretty(S) prints the symbolic expression S in a format that

    resembles type-set mathematics.

clear

syms x a b c

I1=int(sin(a*x)*sin(b*x)*sin(c*x),x)

I2=int(x*exp(x)/(+x)^,x,,)

clear

syms t

y=exp(-t^)

F=int(y,t,,x^)

int(x^*diff(F,x),x,-,)

clear
syms x

I1=int(+x^,x,-,)+int(exp(-x),x,,)

eval(I1)   %用于评估由表达式表示的matlab代码

I2=quad(@sy3_9f,-,)

其中sy3_9f.m如下：

function y=sy3_9f(x)

if x<=

    y=+x.^;   %系统自动把变量换成向量，故用 .*  ./   .^ 这些。而且，凡是维数不匹配，就有可能是把变量作为向量了

else

    y=exp(-x);

end
%如果被积函数是一个分段函数，则需要以分段点为界分开积分

clear

k=;

n=^k-;

[x,y,z]=ellipsoid(,,,,,,n)   %ellipsoid——椭圆

mesh(x,y,z);

colormap(gray);

axis equal

%或者用参数方程(推荐)

clear

ezmesh('5*sin(a)*cos(b)','4*sin(a)*sin(b)','3*cos(a)',[,pi],[,*pi])
axis equal

clear

k=;

n=^k-;

[x,y,z]=sphere(n)

mesh(x,y,z);

colormap(gray);

axis equal

%或者用参数方程(推荐)

clear

ezmesh('5*sin(a)*cos(b)','5*sin(a)*sin(b)','5*cos(a)',[,pi],[,*pi])
axis equal

ezmesh('2*u*cos(v)','3*u*sin(v)','4*u*u',[,],[,*pi])

axis equal

clear

x=-:0.01:;

y=-:0.1:;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

Z=X.*X/-Y.*Y/;

mesh(X,Y,Z)

ezmesh('2*sec(u)*cos(v)','3*sec(u)*sin(v)','2*tan(u)',[-,],[,*pi])

axis equal

title('ezmesh作的单叶双曲面')

ezmesh('2*tan(u)*cos(v)','3*tan(u)*sin(v)','2*sec(u)',[-,],[,*pi])

axis equal

title('ezmesh作的双叶双曲面')

ezmesh('2*u*cos(v)','3*u*sin(v)','2*u',[-,],[,*pi])

axis equal

title('ezmesh作的椭圆锥面')

x1='3*cos(u)';

y1='2*sin(u)';

z1='v';

ezmesh(x1,y1,z1,[,*pi,,]);

axis square

%第一问

syms x y

f=x/(+x*y);
int(int(f,y,,),x,,)
%第二问

%求交点

clear

syms x y
[x,y]=solve(y==x*x+,y==*x,x,y) %在2018里这样，有些版本是加引号和单等号

%积分

clear

syms x y

f=x/(y+);
int(int(f,y,*x,x*x+),x,,)

%第三问

clear

syms x y

f=-x-y;
int(int(f,y,,-x),x,,)

%第一问

clear

syms r f

int(int(r*r*r,r,,sqrt()),f,,pi/)
%第二问

clear

syms r f

int(int(,r,,sec(f)*tan(f)),f,,pi/)

%三叶玫瑰线的一叶

clear

syms r f

int(int(r,r,,cos(*f)),f,-pi/,pi/)

%心脏线

clear

syms r f

int(int(r,r,,-sin(f)),f,,*pi)

clear

syms z r s

A=int(int(int(z*r,z,r*r,),r,,sqrt()),s,,*pi)-int(int(int(z*r,z,r*r,),r,,sqrt()),s,,*pi)

clear

syms z r s

int(int(int(z*r,z,r*r,sqrt(-r*r)),r,,),s,,*pi)

clear

syms r f g

int(int(int(r*r*r*r*sin(g),r,,),g,,pi),f,,*pi)

%第一问

clear

syms x y t

x=t;

y=/*sqrt(*t*t*t);

z=/*t*t;

dx=diff(x,t);

dy=diff(y,t);

dz=diff(z,t);

ds=sqrt(dx^+dy^+dz^);

f=x*y*exp(x*y);

int(f*ds,t,,)

%第二问

clear

syms x y t a

x=a*(t-sin(t));

y=a*(-cos(t));

dx=diff(x,t);

dy=diff(y,t);

ds=sqrt(dx^+dy^);

f=y*y;

int(f*ds,t,,)

%第一问

clear

syms x y a t

x=a*(t-sin(t));

y=a*(-cos(t));

dx=diff(x);

dy=diff(y);

int((*a-y)*dx+dy,t,,*pi)

%第二问

clear

syms x y z t a

x=exp(t);

y=exp(-t);

z=a*t;

dx=diff(x);

dy=diff(y);

dz=diff(z);

int(y*dx-x*dy+(x*x+y*y)*dz,t,,)

%

clear

syms x y z

z=-(x*x+y*y);

dzx=diff(z,x);

dzy=diff(z,y);

f1=;

f2=x*x+y*y;

ds=sqrt(+dzx^+dzy^);

I1=int(int(f1*ds,x,,sqrt()),y,,sqrt())

I2=int(int(f2*ds,x,,sqrt()),y,,sqrt())

%

clear

syms x y z

z=-*x-*y/;

dzx=diff(z,x);

dzy=diff(z,y);

ds=sqrt(+dzx^+dzy^);

I=int(int(*ds,y,,(-*x)/),x,,)

%第一问

clear

syms x y z R r sita

x=r*sin(sita);

y=r*cos(sita);

z=-sqrt(R*R-x*x-y*y);

int(int(x*x*y*y*z*r,r,,R),sita,,*pi)

%第二问

clear

syms x y z

I1=int(int(sqrt(-y*y),y,,),z,,);

I2=int(int(sqrt(-x*x),x,,),z,,);

I=I1+I2

help symsum

--- sym/symsum 的帮助 ---

 symsum Symbolic summation.

    symsum(f) evaluates the sum of a series, where expression f defines the

    terms of a series, with respect to the default symbolic variable

    defaultVar determined by symvar. The value of the default variable

    changes from  to defaultVar - . If f is a constant, the summation is

    with respect to 'x'.

    symsum(f,x) evaluates the sum of a series, where expression f defines

    the terms of a series, with respect to the symbolic variable x. The

    value of the variable x changes from  to x - .

    symsum(f,a,b) evaluates the sum of a series, where expression f defines

    the terms of a series, with respect to the default symbolic variable

    defaultVar determined by symvar. The value of the default variable

    changes from a to b. Specifying the range from a to b can also be done

    using a row or column vector with two elements, i.e., valid calls are

    also symsum(f,[a,b]) or symsum(f,[a b]) and symsum(f,[a;b]).

    symsum(f,x,a,b) evaluates the sum of a series, where expression f

    defines the terms of a series, with respect to the symbolic variable x.

    The value of the variable x changes from a to b. Specifying the range

    from a to b can also be done using a row or column vector with two

    elements, i.e., valid calls are also symsum(f,x,[a,b]) or

    symsum(f,x,[a b]) and symsum(f,x,[a;b]). 

clear

syms n

f1=(n-)/(n*^n);

f2=n*n*n/(^n);

I1=symsum(f1,n,,inf)

I2=symsum(f2,n,,inf)

clear

syms x n

taylor(cos(x),x,pi/,'Order',)

%第1问

clear

syms x

f=x*x*x+x*x;

a0=int(f,x,-pi,pi)/pi;

an=int(f*cos(*x),x,-pi,pi)/pi

bn=int(f*sin(*x),x,-pi,pi)/pi

%第2问   matlab2018死活不行 但是2016可以 这软件......

function [a0,a,b]=myfly(f,n)

a0=fourieran(f,);

for i=:n

    a(i)=fourieran(f,i);

end

for i=:n

    b(i)=fourierbn(f,i);

end

%fourieran.m

function an=fourieran(f,n)

syms x

an=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pi;

%fourierbn.m

function bn=fourierbn(f,n)

syms x

bn=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi;

%第1问

clear

dsolve('Dy=8-3*y','y(0)=2')

%第2问

clear

dsolve('(1+x*x)*D2y=2*x*Dy','y(0)=1','Dy(0)=3')

%第3问

clear

dsolve('D4y-2*D3y+D2y=0','x')

%第4问

clear

dsolve('2*Dx+4*x+Dy-y=exp(t),Dx+3*x+y=0','x(0)=3/2','y(0)=0')

clear

P1=hygecdf(,,,)

X=hygeinv(P1,,,)

P2=hygepdf(,,,)

x=:;

Px1=hygecdf(x,,,);

Px2=hygepdf(x,,,);

stairs(x,Px1);   % stairs(x,y)绘制向量y的阶梯图，阶梯的宽度以向量x指定。

figure()

stairs(x,Px2);

%第一问

clear

X=[   ;

      ;

      ;

      ];

%几何均值

geom=geomean(X)

%调和均值

harm=harmmean(X)

%算数平均值

meanX=mean(X)

%中值

medianm=median(X)

%极差

rangem=range(X)

%方差

varx=var(X)

var1x=var(X,)

%标准差

stdX=std(X)

%协方差矩阵

covX=cov(X)

%任意阶中心距

moment1=moment(X,)

moment2=moment(X,)

moment3=moment(X,)

moment4=moment(X,)

%相关系数

R=corrcoef(X)

%第二问

clear

X=[         ]' * [10 9 8 7 6 5 4 3 2 1];

%几何均值

geom=geomean(X)

%调和均值

harm=harmmean(X)

%算数平均值

meanX=mean(X)

%中值

medianm=median(X)

%极差

rangem=range(X)

%方差

varx=var(X)

%若X为向量，返回X中元素的方差;若X为矩阵，返回一个行向量，每一个元素，为对应列的方差(var(X)是经n-1进行了标准化，n为数据长度)

%对于正态分布，var(X)就成为了σ²的最小方差无偏估计量

var1x=var(X,)  %经n进行了标准化，得到关于其均值(惯性矩)的样本数据的二阶矩

%标准差

stdX=std(X)

%协方差矩阵

covX=cov(X)

%任意阶中心距

moment1=moment(X,)

moment2=moment(X,)

moment3=moment(X,)

moment4=moment(X,)

%相关系数

R=corrcoef(X)

%第三问

clear

m=magic();

m([    ])=[NaN NaN NaN NaN NaN];

%求和

sum1=nansum(m)

%求均值

mean1=nanmean(m)

%中值

medianm=nanmedian(m)

%方差

varx=nanvar(m)

var1x=nanvar(m,)

%标准差

stdX=nanstd(m)

%其他

nanmin(m)

nanmax(m)

year=::;

product=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.505,249.633,256.344,267.893];

p1995=interp1(year,product,,'spline')

x=:;

y=interp1(year,product,x,'spline');

plot(year,product,'o',x,y)

years=::;

service=::;

wage=[150.697 169.592 187.652

            179.323 195.072 250.287

            203.212 239.092 322.767

            226.505 273.706 426.730

            249.633 370.281 598.243];

w=interp2(service,years,wage,,)

x=:;

y=:;

t=[,,,,,

     ,,,,,

     ,,,,,

     ,,,,,]

subplot(,,)

mesh(x,y,t)

x1=:0.1:;

y1=:0.1:;

[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);

t1=interp2(x,y,t,x2,y2,'cubic');

subplot(,,)

mesh(x1,y1,t1)

x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];

y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];

p=polyfit(x,y,)

x1=0.5:0.05:3.0;

y1=polyval(p,x1);

plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')

clear

t=::;

T=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,];

%二次函数

[p2,s2]=polyfit(t,T,);

T2=polyval(p2,t);

subplot(,,)

plot(t,T,'*-',t,T2);

title('二次函数拟合');

p2

deltaT2=sum((T2-T).*(T2-T))

%三次函数

[p3,s3]=polyfit(t,T,);

T3=polyval(p3,t);

subplot(,,)

plot(t,T,'*-',t,T3);

title('三次函数拟合');

p3

deltaT3=sum((T3-T).*(T3-T))

%函数C=a*exp(-b(t-c)²)

Te0=log(T);

[pe,se]=polyfit(t,Te0,);

b=pe();

c=pe()//b;

a=exp(pe()+c);

Te1=polyval(pe,t);

Te2=exp(Te1);

subplot(,,)

plot(t,T,'*-',t,Te2);

title('a*exp(-b(t-c)²)拟合');

a

b

c

deltaTe=sum((Te2-T).*(Te2-T))

>> help ode45

ode45 - Solve nonstiff differential equations — medium order method

    This MATLAB function, where tspan = [t0 tf], integrates the system of differential equations from t0 to tf with initial conditions y0.

    [t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)

    [t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)

    [t,y,te,ye,ie] = ode45(odefun,tspan,y0,options)

    sol = ode45(___)

function f=fun(x,y)

f=y+*x/y;

%命令行：

ode45(@fun,[,],)

function f=fun(x,y)

f=y+y*y;

%命令行：

ode15s(@fun,[,0.6],)

function example

ode15s(@fun,[,],[,])

%----------%

function f=fun(x,y)

dy1dx = 0.04*(-y())-(-y()).*y()+0.0001*(-y()).^;

dy2dx = -1e4*dy1dx+*(-y()).^;

f=[dy1dx;dy2dx];

%

%函数first_ode，假设0≤x≤

function first_ode

[T,Y]=ode45(@fun,[,],)

function f=fun(x,y)

f=-*y;

%命令行

first_ode

%

%函数second_ode,假设0≤x≤

function second_ode

[T,Y]=ode15s(@fun,[,],[,])

function f=fun(x,y)

f=[y();*x/(+x*x)*y()];

%命令行输入：

second_ode

%

%函数third_ode，假设0≤x≤

function third_ode

[T,Y]=ode45(@fun,[,],[,,,])

function f=fun(x,y)

f=[y();y();y();*y()-y()]

%命令行输入：

third_ode

%

%函数fourth_ode，假设0≤t≤

function fourth_ode

[T,Y]=ode45(@fun,[,],[/,])

function f=fun(t,y)

dy1dt=-*y()-y();

dy2dt=y()-*y()-*dy1dt+exp(t);

f=[dy1dt;dy2dt];

%命令行输入：

fourth_ode

>> help solve

solve - Equations and systems solver

This MATLAB function solves the equation eqn for the variable var.

S = solve(eqn,var)

S = solve(eqn,var,Name,Value)

Y = solve(eqns,vars)

Y = solve(eqns,vars,Name,Value)

[y1,...,yN] = solve(eqns,vars)

[y1,...,yN] = solve(eqns,vars,Name,Value)

[y1,...,yN,parameters,conditions] = solve(eqns,vars,'ReturnConditions',true)

>> help fsolve

fsolve - Solve system of nonlinear equations

This MATLAB function starts at x0 and tries to solve the equations fun(x) = , an array of zeros.

x = fsolve(fun,x0)

x = fsolve(fun,x0,options)

x = fsolve(problem)

[x,fval] = fsolve(___)

[x,fval,exitflag,output] = fsolve(___)

[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(___)

%建立存放函数的m文件：

function y=sy35(x)

y()=x()-0.5*sin(x())-0.3*cos(x())

y()=x()-0.5*cos(x())+0.3*sin(x())

%命令行

clear

format short

x0=[0.1,0.1]   %x0是变量x的初始值，其维数要与变量x的维数一致。

fsolve(@sy35,x0,optimset('fsolve'))   %这里optimset部分是优化设置，可以不用

>> help fzero

fzero - Root of nonlinear function

This MATLAB function tries to find a point x where fun(x) = .

x = fzero(fun,x0)

x = fzero(fun,x0,options)

x = fzero(problem)

[x,fval,exitflag,output] = fzero(___)

%2.1,初始值为0.

X=fsolve('x-exp(-x)',0.1,optimset('fsolve'))

%2.2

clear

f='5*x.^2.*sin(x)-exp(-x)';

x0=fsolve(f,:);

j=;

num()=x0();

for i=:

    if (abs(x0(i+)-x0(i)>^(-)))

        num(j)=x0(i+);

        j=j+;

    end

end

num

%2.3

%定义函数sy23，可以把x记作x1，y记作x2

function y=sy23(x)

y()=x()-0.7*sin(x())-0.2*cos(x())

y()=x()-0.7*cos(x())-0.2*sin(x())

%命令行：

clear

format short

x0=[0.1,0.1];

fsolve(@sy23,x0,optimset('fsolve'))

%2.4

fzero(@(x)x.^.*exp(-x.^)-0.2,)

clear

f=-[,];

A=[,;,;,];

b=[,,];

[X,fval]=linprog(f,A,b)

clear

f=-[,,];

A=[,-,;,,;,,];

b=[,,];

LB=[;;];

[X,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],LB)

>> help fminbnd

fminbnd - Find minimum of single-variable function on fixed interval

    This MATLAB function returns a value x that is a local minimizer of the scalar valued function that is described in fun in the interval x1 < x < x2.

    x = fminbnd(fun,x1,x2)

    x = fminbnd(fun,x1,x2,options)

    x = fminbnd(problem)

    [x,fval] = fminbnd(___)

    [x,fval,exitflag] = fminbnd(___)

    [x,fval,exitflag,output] = fminbnd(___)

clear

fun='(x^5+x^3+x^2-1)/(exp(x^2)+sin(-x))';

ezplot(fun,[-,])

[X,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,-,)

X =    0.2176

fval =   -1.1312

exitflag =     

output =

     iterations:

     funcCount:

     algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'

>> help fminsearch

fminsearch - Find minimum of unconstrained multivariable function using derivative-free method

    This MATLAB function starts at the point x0 and attempts to find a local minimum

    x of the function described in fun.

    x = fminsearch(fun,x0)

    x = fminsearch(fun,x0,options)

    x = fminsearch(problem)

    [x,fval] = fminsearch(___)

    [x,fval,exitflag] = fminsearch(___)

    [x,fval,exitflag,output] = fminsearch(___)

clear

fun1='sin(x)*sin(x)+cos(y)';

fun2='sin(x(1))*sin(x(1))+cos(x(2))';

ezmesh(fun1)

[X,fval]=fminsearch(fun2,[,])

>> help fminunc

fminunc - Find minimum of unconstrained multivariable function

    This MATLAB function starts at the point x0 and attempts to find a local minimum

    x of the function described in fun.

    x = fminunc(fun,x0)

    x = fminunc(fun,x0,options)

    x = fminunc(problem)

    [x,fval] = fminunc(___)

    [x,fval,exitflag,output] = fminunc(___)

    [x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(___)

clear

fun='exp(x(1))*(2*x(1)^2+3*x(2)^2+2*x(1)*x(2)+3*x(2)+1)';

X0=[,];

options=optimset('largescale','off','display','iter','tolx',1e-,'tolfun',1e-);

[X,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,X0,options)

>> help fmincon

fmincon - Find minimum of constrained nonlinear multivariable function

    This MATLAB function starts at x0 and attempts to find a minimizer x of the function described in fun subject to the linear inequalities A*x ≤ b.

    x = fmincon(fun,x0,A,b)

    x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

    x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

    x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

    x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

    x = fmincon(problem)

    [x,fval] = fmincon(___)

    [x,fval,exitflag,output] = fmincon(___)

    [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(___)

一、常用对象操作：除了一般windows窗口的常用功能键外。
1、!dir 可以查看当前工作目录的文件。   !dir& 可以在dos状态下查看。
2、who  可以查看当前工作空间变量名，    whos 可以查看变量名细节。
3、功能键：
功能键             快捷键           说明
方向上键           Ctrl+P          返回前一行输入
方向下键           Ctrl+N          返回下一行输入
方向左键           Ctrl+B          光标向后移一个字符
方向右键           Ctrl+F          光标向前移一个字符
Ctrl+方向右键      Ctrl+R          光标向右移一个字符
Ctrl+方向左键      Ctrl+L          光标向左移一个字符
home              Ctrl+A          光标移到行首
End               Ctrl+E          光标移到行尾
Esc               Ctrl+U          清除一行
Del               Ctrl+D          清除光标所在的字符
Backspace         Ctrl+H          删除光标前一个字符                              Ctrl+K          删除到行尾          
                  Ctrl+C          中断正在执行的命令
4、clc可以命令窗口显示的内容，但并不清除工作空间。
二、函数及运算
1、运算符：
＋：加，  －：减，  *：乘，  /： 除， \：左除  ^：  幂，‘：复数的共轭转置， （）：制定运算顺序。
2、常用函数表：
sin( )　  　正弦（变量为弧度）   
cot( )　  　余切（变量为弧度）
sind( )　    正弦（变量为度数）  
cotd( )       余切（变量为度数）
asin( )       反正弦（返回弧度）     
acot( )       反余切（返回弧度）    
asind( )     反正弦（返回度数）    
acotd( )     反余切（返回度数）    
cos( )        余弦（变量为弧度）     
exp( )       指数     
cosd( )     余弦（变量为度数）   
log( )        对数   
acos( )     余正弦（返回弧度）   
log10( )    以10为底对数
acosd( )   余正弦（返回度数）     
sqrt( )      开方       
tan( )       正切（变量为弧度）      
realsqrt( ) 返回非负根
tand( )      正切（变量为度数）        
abs( )       取绝对值   
atan( )      反正切（返回弧度）     
angle( )    返回复数的相位角
atand( )    反正切（返回度数）        
mod(x,y)  返回x/y的余数   
sum(  )     向量元素求和
3、其余函数可以用 help elfun 和 help specfun 命令获得。
4、常用常数的值：
pi                    3.1415926…….         
realmin           最小浮点数，2^-1022
realmax          最大浮点数，（2－eps）2^1022
i                      虚数单位              
j                      虚数单位           
Inf                  无限值
eps                浮点相对经度＝2^-52           
NaN              空值
三、数组和矩阵：
1、构造数组的方法：增量法 linspace(first,last,num) first和last为起始和终止数，num为需要的数组元素个数。
2、构造矩阵的方法：可以直接用[ ]来输入数组，也可以用以下提供的函数来生成矩阵。
ones( )       创建一个所有元素都为1的矩阵，其中可以制定维数，1，2….个变量
zeros()       创建一个所有元素都为0的矩阵
eye()          创建对角元素为1，其他元素为0的矩阵
diag()        根据向量创建对角矩阵，即以向量的元素为对角元素
magic()     创建魔方矩阵
rand()       创建随机矩阵，服从均匀分布
randn()     创建随机矩阵，服从正态分布
randperm()      创建随机行向量
horcat              C=[A,B]，水平聚合矩阵，还可以用cat(1,A,B)
vercat              C=[A;B]，垂直聚合矩阵, 还可以用cat(2,A,B)
repmat(M,v,h)          将矩阵M在垂直方向上聚合v次，在水平方向上聚合h次
blkdiag（A，B）     以A，和B为块创建块对角矩阵
length              返回矩阵最长维的的长度
ndims              返回维数
numel              返回矩阵元素个数
size                 返回每一维的长度，[rows,cols]=size(A)
reshape          重塑矩阵，reshape(A,2,6),将A变为2×6的矩阵，按列排列。
rot90               旋转矩阵90度，逆时针方向
fliplr                沿垂轴翻转矩阵
flipud              沿水平轴翻转矩阵
transpose       沿主对角线翻转矩阵
ctranspose     转置矩阵，也可用A’或A.’，这仅当矩阵为复数矩阵时才有区别
inv                  矩阵的逆
det                 矩阵的行列式值
trace               矩阵对角元素的和
norm               矩阵或矢量的范数，norm（a，1），norm（a，Inf）…….
normest          估计矩阵的最大范数矢量
chol                矩阵的cholesky分解
cholinc           不完全cholesky分解
lu                   LU分解
luinc              不完全LU分解
qr                  正交分解
kron（A，B）        A为m×n，B为p×q，则生成mp×nq的矩阵，A的每一个元素都会乘上B，并占据p×q大小的空间
rank              求出矩阵的刺
pinv              求伪逆矩阵
A^p               对A进行操作
A.^P              对A中的每一个元素进行操作
四、数值计算
1、线性方程组求解
（1）AX=B的解可以用X＝A\B求。XA=B的解可以用X= A/B求。如果A是m×n的矩阵，当m＝n时可以找到唯一解，m<n，不定解，解中至多有m个非零元素。如果m>n，超定系统，至少找到一组解。如果A是奇异的，且AX=B有解，可以用X＝pinv（A）×B返回最小二乘解
（2）AX=b,  A＝L×U，[L,U]=lu(A),  X=U\(L\b),即用LU分解求解。
（3）QR（正交）分解是将一矩阵表示为一正交矩阵和一上三角矩阵之积，A＝Q×R[Q,R]=chol(A),  X=Q\(U\b)
（4）cholesky分解类似。
2、特征值
D＝eig（A）返回A的所有特征值组成的矩阵。[V,D]=eig(A),还返回特征向量矩阵。
3、A＝U×S×UT，[U,S]=schur(A).其中S的对角线元素为A的特征值。
4、多项式Matlab里面的多项式是以向量来表示的，其具体操作函数如下：
conv             多项式的乘法
deconv         多项式的除法，【a，b】＝deconv（s），返回商和余数
poly              求多项式的系数（由已知根求多项式的系数）
polyeig         求多项式的特征值
Polyfit（x，y，n）        多项式的曲线拟合，x，y为被拟合的向量，n为拟合多项式阶数。
polyder         求多项式的一阶导数，polyder（a，b）返回ab的导数
[a,b]＝polyder（a，b）   返回a/b的导数。
polyint          多项式的积分
polyval         求多项式的值
polyvalm      以矩阵为变量求多项式的值
residue        部分分式展开式
roots           求多项式的根（返回所有根组成的向量）
注：用ploy（A）求出矩阵的特征多项式，然后再求其根，即为矩阵的特征值。
5、插值常用的插值函数如下：
griddata         数据网格化合曲面拟合
Griddata3      三维数据网格化合超曲面拟合
interp1           一维插值（yi=interp1(x,y,xi,’method’)Method=nearest/linear/spline/pchip/cubic
Interp2           二维插值zi=interp1(x,y,z,xi,yi’method’),bilinear
Interp3           三维插值
interpft          用快速傅立叶变换进行一维插值，help fft。
mkpp            使用分段多项式
spline            三次样条插值
pchip            分段hermit插值
6、函数最值的求解
fminbnd（‘f’，x1，x2，optiset（,））求f在 x1和x2之间的最小值。Optiset选项可以有‘Display’+‘iter’/’off’/’final’,分别表示显示计算过程/不显示/只显示最后结果。fminsearch求多元函数的最小值。fzero（‘f’，x1）求一元函数的零点。X1为起始点。同样可以用上面的选项。
五、图像绘制：

1、基本绘图函数
plot               绘制二维线性图形和两个坐标轴
plot3            绘制三维线性图形和两个坐标轴
fplot             在制定区间绘制某函数的图像。fplot（‘f’，区域，线型，颜色）
loglog          绘制对数图形及两个坐标轴（两个坐标都为对数坐标）semilogx        绘制半对数坐标图形
semilogy     绘制半对数坐标图形
2、线型：   颜色           线型
        y   黄色             .     圆点线     　 　 v        向下箭头
        g   绿色             -.   组合       　　　 >        向右箭头
        b   蓝色            +    点为加号形        <        向左箭头
        m   红紫色        o    空心圆形           p         五角星形
        c   蓝紫色         *    星号        　　    h         六角星形
        w   白色            .   实心小点     　  hold on   添加图形
        r   红色             x   叉号形状          grid on  添加网格
        k   黑色            s   方形         　　   -           实线       
        d   菱形            --   虚线      　　     ^         向上箭头     
3、可以用subplot（3，3，1）表示将绘图区域分为三行三列，目前使用第一区域。此时如要画不同的图形在一个窗口里，需要hold on。
附录1.1 管理用命令
函数名             功能描述                 函数名           功能描述
addpath    增加一条搜索路径         rmpath       删除一条搜索路径
demo        运行Matlab演示程序       type           列出.M文件
doc           装入超文本文档           version        显示Matlab的版本号
help          启动联机帮助                what          列出当前目录下的有关文件
lasterr     显示最后一条信息       whatsnew      显示Matlab的新特性
lookfor    搜索关键词的帮助          which        造出函数与文件所在的目录
path       设置或查询Matlab路径

附录1.2管理变量与工作空间用命令 
函数名         功能描述                                  函数名       功能描述
clear      删除内存中的变量与函数               pack          整理工作空间内存
disp      显示矩阵与文本                               save          将工作空间中的变量存盘
length   查询向量的维数                               size           查询矩阵的维数
load      从文件中装入数据                          who,whos   列出工作空间中的变量名

附录1.3文件与操作系统处理命令 
函数名       功能描述                      函数名          功能描述
cd           改变当前工作目录           edit               编辑.M文件
delete     删除文件                         matlabroot    获得Matlab的安装根目录
diary      将Matlab运行命令存盘    tempdir         获得系统的缓存目录
dir          列出当前目录的内容       tempname    获得一个缓存(temp)文件
!             执行操作系统命令

附录1.4窗口控制命令 
函数名      功能描述                                    函数名    功能描述
echo        显示文件中的Matlab中的命令    more    控制命令窗口的输出页面
format      设置输出格式

附录1.5启动与退出命令 
函数名         功能描述      函数名     功能描述
matlabrc      启动主程序    quit        退出Matlab环境
startup        Matlab自启动程序

附录2 运算符号与特殊字符附录
2.1运算符号与特殊字符
函数名    功能描述    函数名    功能描述
+                 加              ...        续行标志
-                  减              ,          分行符(该行结果不显示)
*               矩阵乘          ;         分行符(该行结果显示)
.*              向量乘         %        注释标志
^              矩阵乘方       !         操作系统命令提示符
.^             向量乘方       '         矩阵转置
kron         矩阵kron积   .         向量转置
\               矩阵左除      =        赋值运算
/               矩阵右除     ==      关系运算之相等
.\              向量左除     ~=      关系运算之不等
./              向量右除      <       关系运算之小于
:      向量生成或子阵提取   <=    关系运算之小于等于
()    下标运算或参数定义    >    关系运算之大于
[]             矩阵生成       >=    关系运算之大于等于
&           逻辑运算之与
.         结构字段获取符       |    逻辑运算之或
.         点乘运算,常与其他运算符联合使用(如.\)

~       逻辑运算之非
xor    逻辑运算之异成

附录2.2逻辑函数 
函数名    功能描述                                    函数名                              功能描述
all          测试向量中所用元素是否为真     is*(一类函数)      检测向量状态.其中*表示一个确定的函数(isinf)
any       测试向量中是否有真元素             *isa                     检测对象是否为某一个类的对象
exist     检验变量或文件是否定义             logical                 将数字量转化为逻辑量
find      查找非零元素的下标

附录3 语言结构与调试
附录3.1编程语言 
函数名          功能描述                             函数名       功能描述
builtin    执行Matlab内建的函数               global         定义全局变量
eval      执行Matlab语句构成的字符串     nargchk      函数输入输出参数个数检验
feval     执行字符串指定的文件                script          Matlab语句及文件信息
function    Matlab函数定义关键词

附录3.2控制流程 
函数名        功能描述                                      函数名    功能描述
break         中断循环执行的语句                       if    条件转移语句
case          与switch结合实现多路转移         otherwise    多路转移中的缺省执行部分
else           与if一起使用的转移语句              return    返回调用函数
elseif         与if一起使用的转移语句              switch    与case结合实现多路转移
end           结束控制语句块                           warning    显示警告信息
error         显示错误信息                               while    循环语句
for            循环语句

附录3.3交互输入 
函数名        功能描述         函数名     功能描述
input           请求输入          menu      菜单生成
keyboard    启动键盘管理   pause     暂停执行

附录3.4面向对象编程 
函数名         功能描述                 函数名         功能描述
class           生成对象                  isa                判断对象是否属于某一类
double        转换成双精度型       superiorto     建立类的层次关系
inferiorto    建立类的层次关系     unit8             转换成8字节的无符号整数
inline         建立一个内嵌对象

附录3.5调试 
函数名       功能描述                           函数名           功能描述
dbclear    清除调试断点                     dbstatus        列出所有断点情况
dbcont     调试继续执行                     dbstep           单步执行
dbdown   改变局部工作空间内存       dbstop          设置调试断点
dbmex    启动对Mex文件的调试        sbtype           列出带命令行标号的.M文件
dbquit     退出调试模式                      dbup              改变局部工作空间内容
dbstack   列出函数调用关系

附录4 基本矩阵与矩阵处理
附录4.1基本矩阵 
函数名        功能描述                              函数名       功能描述
eye            产生单位阵                            rand          产生随机分布矩阵
linspace     构造线性分布的向量             randn        产生正态分布矩阵
logspace    构造等对数分布的向量         zeros         产生零矩阵
ones           产生元素全部为1的矩阵          :              产生向量

附录4.2特殊向量与常量 
函数名              功能描述                         函数名     功能描述
ans               缺省的计算结果变量            non         非数值常量常由0/0或Inf/Inf获得
computer     运行Matlab的机器类型         nargin     函数中参数输入个数
eps              精度容许误差(无穷小)          nargout    函数中输出变量个数
flops            浮点运算计数                         pi            圆周率
i                   复数单元                             realmax    最大浮点数值
inf               无穷大                                  realmin     最小浮点数值
inputname   输入参数名                         varargin     函数中输入的可选参数
j                  复数单元                             varargout    函数中输出的可选参数

附录4.3时间与日期 
函数名             功能描述            函数名                功能描述
calender          日历                   eomday              计算月末
clock                时钟                  etime                   所用时间函数 
cputime    所用的CPU时间        now                    当前日期与时间
date                 日期                   tic                      启动秒表计时器
datenum    日期(数字串格式)    toc                     读取秒表计时器
datestr       日期(字符串格式)    weekday               星期函数
datevoc     日期(年月日分立格式)

附录4.4矩阵处理 
函数名        功能描述                                   函数名        功能描述
cat             向量连接                                    reshape     改变矩阵行列个数
diag          建立对角矩阵或获取对角向量    rot90          将矩阵旋转90度
fliplr          按左右方向翻转矩阵元素           tril               取矩阵的下三角部分
flipud        按上下方向翻转矩阵元素           triu              取矩阵的上三角部分
repmat    复制并排列矩阵函数

附录5 特殊矩阵 
函数名         功能描述                            函数名      功能描述
compan       生成伴随矩阵                     invhilb      生成逆hilbert矩阵
gallery         生成一些小的测试矩阵      magic       生成magic矩阵
hadamard    生成hadamard矩阵           pascal      生成pascal矩阵
hankel         生成hankel矩阵                 toeplitz     生成toeplitz矩阵
hilb              生成hilbert矩阵                  wilkinson  生成wilkinson特征值测试矩阵 
附录6 数学函数
附录6.1三角函数 
函数名               功能描述                                   函数名            功能描述
sin/asin           正弦/反正弦函数                          sec/asec       正割/反正割函数
sinh/asinh    双曲正弦/反双曲正弦函数               sech/asech    双曲正割/反双曲正割函数
cos/acos      余弦/反余弦函数                             csc/acsc         余割/反余割函数
cosh/acosh  双曲余弦/反双曲余弦函数               csch/acsch    双曲余割/反双曲余割函数
tan/atan       正切/反正切函数                             cot/acot         余切/反余切函数
tanh/atanh    双曲正切/反双曲正切函数              coth/acoth    双曲余切/反双曲余切函数
atan2           四个象限内反正切函数

附录6.2指数函数 
函数名    功能描述            函数名    功能描述
exp        指数函数             log10     常用对数函数
log         自然对数函数      sqrt       平方根函数

附录6.3复数函数 
函数名    功能描述          函数名    功能描述
abs         绝对值函数      imag       求虚部函数
angle     角相位函数       real        求实部函数
conj       共轭复数函数

附录6.4数值处理 
函数名         功能描述                  函数名     功能描述
fix           沿零方向取整                round      舍入取整
floor        沿-∞方向取整               rem         求除法的余数
ceil         沿+∞方向取整               sign        符号函数

附录6.5其他特殊数学函数 
函数名            功能描述                            函数名    功能描述
airy                 airy函数                              erfcx      比例互补误差函数
besselh     bessel函数(hankel函数)          erfinv    逆误差函数
bessili      改进的第一类bessel函数  　    expint    指数积分函数
besselk    改进的第二类bessel函数         gamma    gamma函数
besselj    第一类bessel函数                     gammainc    非完全gamma函数
bessely   第二类bessel函数                     gammaln    gamma对数函数
beta               beta函数                            gcd             最大公约数
betainc    非完全的beta函数                    lcm             最小公倍数
betaln            beta对数函数                     log2            分割浮点数
elipj              Jacobi椭圆函数                   legendre     legendre伴随函数
ellipke      完全椭圆积分                          pow2           基2标量浮点数
erf                误差函数                             rat                有理逼近
erfc            互补误差函数                        rats              有理输出