浅谈扩展欧几里得算法

一．算法简析

　　扩展欧几里得算法（又称exgcd），是来求解形如下面格式方程的解。

ax + by = c

　　其中a，b，c已经给出，x，y为待求解的变量。

扩欧算法规定，当 c%gcd(a,b)!=0的时候，上面方程不存在整数解。

　　这个结论可以由贝祖定理推出:

即如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)

　　当上面的方程有解时，我们可以一定得到一组特解。下面我们就要推导下求特解的过程。

二．算法推导

　　首先，我们知道gcd(a,b) = gcd(b,a%b)，再由上面的式子，我们可以推导得到

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ax₁+by₁ = gcd(a,b) = gcd(b,a%b) = bx₂ +(a%b)y₂  

而a%b又等于a - a/b*b(此处除法为向下取整)

　　根据等式两边对应项对应相等的原则，我们可以得到以下关系

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x₁ = y₂

y₁ = x₂ - a/b*b*y₂

　　通过比较辗转相除法，考虑递归解决问题，应用上面的式子，我们可以发现连接递归上下层的是gcd(a,b) = gcd(b,a%b),因此，递归的终止条件是b==0，此时将x=1,y = 0。

然后根据上面x₁，y₁，x₂，y₂的关系，就可以不断递归推导出原方程的解。详细细节可以看代码。

三．代码实现

typedef long long ll;
void exgcd(ll a,ll b,ll& x1,ll& y1)
{
    if(b==0)
    {
        x1 = 1;
        y1 = 0;
        return ;
    }
    ll x2,y2;
    exgcd(b,a%b,x2,y2);
    x1 = y2;
    y1 = (x2-a/b*y2);
    return ;
}

四．相关例题