【BZOJ-1597】土地购买 DP + 斜率优化

2021-07-04 00:27:17

1597: [Usaco2008 Mar]土地购买

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB
Submit:
2931 Solved: 1091
[Submit][Status][Discuss]

Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <=
50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <=
1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换.
如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费.
他需要你帮助他找到最小的经费.

Input

* 第1行: 一个数: N

* 第2..N+1行:
第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

Output

* 第一行: 最小的可行费用.

Sample Input

4
100 1
15 15
20 5
1
100

输入解释:

共有4块土地.

Sample Output

500

HINT

FJ分3组买这些土地: 第一组:100x1, 第二组1x100, 第三组20x5 和
15x15 plot. 每组的价格分别为100,100,300, 总共500.

Source

Gold

Solution

DP没什么好说的，至于数据范围，铁定得优化到$O（n/nlogn）$，那么考虑斜率优化

题目大意就是划分多组，每组最长*每组最宽为每组的价值，要求价值最小

很容易发现，如果一块土地，他的长和宽都小于等于他所在组的最长长和最长宽，那么这块土地是没有存在的必要的

那么可以考虑对原始数据进行排序，并用单调栈去维护一下长宽，达到目的

这样容易得出转移 $dp[i]=min(dp[j]+y[j+1]*x[i])$

那么进行斜率优化得到$(dp[j-1]-dp[k-1])/(y[j]-y[k])>-x[i]$

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cmath>

using namespace std;

int read()

{

    int x=;char ch=getchar();

    while(ch<''||ch>'')ch=getchar();

    while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}

    return x;

}

#define maxn 50010

int n,top,que[maxn],l,r;

long long stackx[maxn],stacky[maxn],dp[maxn];

struct Fieldnode

{

    int a,b;

    bool operator < (const Fieldnode & A) const

        {

            if (a==A.a) return b<A.b;

            return a<A.a;

        }

}fie[maxn];

double slope(int i,int j)

{return (dp[j]-dp[i])/(stacky[i+]-stacky[j+]);}

int main()

{

    n=read();

    for (int i=; i<=n; i++)fie[i].a=read(),fie[i].b=read();

    sort(fie+,fie+n+);

    for (int i=; i<=n; i++)

        {

            while (top && fie[i].b>=stacky[top]) top--;

            top++; stackx[top]=fie[i].a; stacky[top]=fie[i].b;

        }

    for (int tmp,i=; i<=top; i++)

        {

            while (l<r && slope(que[l],que[l+])<stackx[i]) l++;

            tmp=que[l];

            dp[i]=dp[tmp]+stackx[i]*stacky[tmp+];

            while (l<r && slope(que[r],i)<slope(que[r-],que[r])) r--;

            que[++r]=i;

        }

    printf("%lld\n",dp[top]);

    return ;

}

一道奶牛题做成这样也是醉了...

码农公寓