BZOJ 1096: [ZJOI2007]仓库建设 [斜率优化DP]

2023-08-28 22:40:34

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

总结一下普通斜率优化题的过程吧：

f[i]=min{f[j]+c[i]+p[j+1]*(x[i]-x[j+1])+p[j+2]*(x[i]-x[j+2])}

处理p和x*p的前缀和

然后化啊化，

slope(j,k)=(double)(g[k]-g[j]+f[k]-f[j])/(double)(p[k]-p[j])

得到j<k,slope(j,k)<x[i]时k更优

判断一下发现x<y<z,slope(x,y)>slope(y,z)时y不是最优

是一个下凸壳

因为p和g单增，单调队列维护就行了

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

const int N=1e6+,INF=1e9;

typedef long long ll;

inline int read(){

    char c=getchar();int x=,f=;

    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-; c=getchar();}

    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-''; c=getchar();}

    return x*f;

}

ll n,p[N],g[N],x[N],c[N];

ll f[N];

inline double slope(int j,int k){

    return (double)(g[k]-g[j]+f[k]-f[j])/(double)(p[k]-p[j]);

}

int q[N],head,tail;

void dp(){

    head=tail=;

    for(int i=;i<=n;i++){

        while(head<tail&&slope(q[head],q[head+])<=x[i]) head++;

        int j=q[head];

        f[i]=x[i]*(p[i]-p[j])-(g[i]-g[j])+c[i]+f[j];

        while(head<tail&&slope(q[tail-],q[tail])>slope(q[tail],i)) tail--;

        q[++tail]=i;

    }

    printf("%lld",f[n]);

}

int main(){

    //freopen("in.txt","r",stdin);

    n=read();

    for(int i=;i<=n;i++){

        x[i]=read();p[i]=read();c[i]=read();

        g[i]=g[i-]+x[i]*p[i];p[i]+=p[i-];

    }

    dp();

}

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