中心城镇问题

题解

实质上是一个非常经典的长链剖分dp题。

我们可以记 d p u , i dp_{u,i} dpu,i​表示在以点 u u u为根节点的子树内，最深的特殊点深度为 i i i时总的权值最大值。
我们的转移主要分两个部分，合并两棵子树，与将当前子树的根节点赋为特殊点。

对于第一个转移，我们需要保证合并的两棵子树它们最浅的特殊点的距离是不小于 K K K的，转移式为
d p u , i = min ⁡ min ⁡ ( j , k ) = i ∧ j + k − 2 d e p u ⩾ K d p u , j + d p v , k dp_{u,i}=\min_{\min(j,k)=i\wedge j+k-2dep_u\geqslant K}dp_{u,j}+dp_{v,k} dpu,i​=min(j,k)=i∧j+k−2depu​⩾Kmin​dpu,j​+dpv,k​但这样需要枚举 j , k j,k j,k两个，显然是会 T T T飞的，但我们观察到上面的状态是可以通过后缀最大值优化的，我们将 d p u , i dp_{u,i} dpu,i​的定义换成在以点 u u u为根的子树内，最深的特殊点深度不小于 i i i时总权值的最大值。
d p u , i = min ⁡ ( d p u , i + d p v , d e p u + K − i , d p v , i + d p u , d e p u + K − i ) dp_{u,i}=\min(dp_{u,i}+dp_{v,dep_u+K-i},dp_{v,i}+dp_{u,dep_u+K-i}) dpu,i​=min(dpu,i​+dpv,depu​+K−i​,dpv,i​+dpu,depu​+K−i​)但这样实际上转移后并没有真正使得转移后的 d p u , i dp_{u,i} dpu,i​表示上个定义 d p u , i dp_{u,i} dpu,i​的后缀最大值，由于它限制了 j j j是被累积到 i i i上的，势必会使得该 j j j的转移范围减少，也就是说存在 j + k ⩾ K + 2 d e p u > i + K j+k\geqslant K+2dep_u>i+K j+k⩾K+2depu​>i+K的情形。
面对这种情况，我们不妨在转移后再做一次后缀最小值，显然在合并这两棵子树后，如果 v v v中有特殊点，即有贡献的话，我们影响到的 d p u , i dp_{u,i} dpu,i​的 i i i一定是不会超过 v v v子树中最深节点的深度的。故我们做的后缀最大值的时间复杂度与前面转移的时间复杂度都是 O ( max ⁡ v ′ ∈ T v d e p v ) O\left(\max_{v'\in T_v}dep_v\right) O(maxv′∈Tv​​depv​)的，即最长链长度。
既然如此，我们就可以联想到通过长链剖分来优化我们的 d p dp dp转移，每次把短的链合并到长的链上。

第二部分的转移就是再将我们当前的 u u u赋为特殊点，显然这种情况需要保证已有的特殊点都与 u u u距离不小于 K K K，即深度都不小于 d e p u + K dep_u+K depu​+K，我们的 d p dp dp又是维护的后缀最大值，有转移式，
d p u , d e p u = v a l u + d p u , d e p u + K dp_{u,dep_u}=val_u+dp_{u,dep_u+K} dpu,depu​​=valu​+dpu,depu​+K​这种转移显然是 O ( 1 ) O\left(1\right) O(1)的，它现在是在最前面的，并不会影响其它的后缀。

整个就是一个长链剖分优化 d p dp dp的过程，每条链只会产生一次贡献，之后就被并到长链上了，以后就是长链产生贡献，是 O ( n ) O\left(n\right) O(n)的。不过重链剖分也可以过，可能时间复杂度与空间复杂度不大一样。

时间复杂度 O ( n ) O\left(n\right) O(n)(长链)或 O ( n log ⁡   n ) O\left(n\log\,n\right) O(nlogn)(重链)。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL; 
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=1e9+7;
const int mod=1e5+3;
const int inv2=5e8+4;
const int jzm=2333;
const int zero=2000;
const int n1=1000;
const int M=100000;
const int orG=3,ivG=332748118;
const long double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-12;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*t*a%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;}return t;}
int n,K,val[MAXN],dep[MAXN],head[MAXN],tot;
int siz[MAXN],wson[MAXN],id[MAXN],mxd[MAXN],stak;
LL f[22][MAXN],g[MAXN],ans;
struct edge{int to,nxt;}e[MAXN<<1];
void addEdge(int u,int v){e[++tot]=(edge){v,head[u]};head[u]=tot;}
void dosaka1(int u,int fa){
	siz[u]=1;dep[u]=dep[fa]+1;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;if(v==fa)continue;
		dosaka1(v,u);siz[u]+=siz[v];mxd[u]=max(mxd[u],mxd[v]);
		if(siz[v]>siz[wson[u]])wson[u]=v;
	}
}
void dosaka2(int u,int fa){
	mxd[u]=dep[u];if(wson[u])id[wson[u]]=id[u],dosaka2(wson[u],u),mxd[u]=mxd[wson[u]];
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;if(v==fa||v==wson[u])continue;
		id[v]=++stak;dosaka2(v,u);
		for(int j=dep[u]+1;j<=min(dep[u]+K,mxd[v]);j++){
			int k=max(j,dep[u]+dep[u]+K-j);
			if(k<=mxd[v])g[j]=max(f[id[u]][j]+f[id[v]][k],g[j]);else g[j]=max(f[id[u]][j],g[j]);
			if(k<=mxd[u])g[j]=max(f[id[v]][j]+f[id[u]][k],g[j]);else g[j]=max(f[id[v]][j],g[j]);
		}
		for(int j=min(mxd[v],dep[u]+K);j>dep[u];j--)
			f[id[u]][j]=max(f[id[u]][j+1],g[j]),g[j]=f[id[v]][j]=0;
		mxd[u]=max(mxd[v],mxd[u]);stak--;
	}
	f[id[u]][dep[u]]=(LL)val[u];
	if(mxd[u]>=dep[u]+K)f[id[u]][dep[u]]+=f[id[u]][dep[u]+K],f[id[u]][dep[u]+K]=0;
	f[id[u]][dep[u]]=max(f[id[u]][dep[u]],f[id[u]][dep[u]+1]);
}
signed main(){
	//freopen("central.in","r",stdin);
	//freopen("central.out","w",stdout);
	read(n);read(K);for(int i=1;i<=n;i++)read(val[i]);K++;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v;read(u);read(v);
		addEdge(u,v);addEdge(v,u);
	}
	dosaka1(1,0);id[1]=++stak;dosaka2(1,0);
	for(int i=1;i<=min(mxd[1],K);i++)ans=max(ans,f[id[1]][i]);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}