数据拟合能够估计出数据变化的趋势，另外一个同等重要的应用是如何利用这一趋势，预测下一时刻数据可能的值。通俗点儿说，你观察苍蝇（蚊子，蜜蜂）飞了几秒，你也许会想“它下一个时刻可能在哪儿”，“呈现出什么样的状态”诸如此类的问题。预知未来这档子事儿对我们有一种不可抗拒的吸引力。别看我们预测的未来很近，但这对于实际应用有很大的帮助。比如减小解空间的范围，便于搜索。对于搜索问题，预测可以看成是对从当前状态到目标状态的启发评价函数。好吧，我承认我陷得太深了，都是复习人工智能搞得。扯得有点儿远了，继续说我们的主题，预测。

古人每遇到重大活动，都会卜上一卦。念几句咒语，抽个签，看看签释，心里大概对所问之事有了个谱儿。再比如，这几天你的左眼皮一直在跳，你想知道这是为什么，意味着什么。你跑去算了一卦。抽签的时候，你心里默念着是不是要捡到钱了等等，结果抽了一个上上签，说你要遇到好事儿。“这几天眼皮跳”是你的观察数据。“你想知道未来会发生什么”是我们想要预测的东西。抽签的时候你心里默念的话，签儿，签上的符号和某些事件的对应关系，这些都是预测的算法。虽然占卜的过程包含了观察，有预测算法，有预测结果，同时也有结果的方差范围等等。但是我们说这种预测是不科学的，因为预测算法不科学，因果关系不见得成立等等。那有没有科学的预测呢，让我们进入今天的话题，Kalman滤波。

假设这样一个场景，A先生使用遥控器控制一架四轴直升飞机F在一个空旷的场地上飞行。直升飞机F上有一个GPS模块，通过无线发射模块实时的将直升飞机F的位置发给计算终端C。B先生在终端C上运行一个“打”直升飞机F的程序D。程序D根据终端C接收的GPS数据，指导一个虚拟的导弹E去跟踪直升飞机F，并试图将F“击落”。

A先生控制的直升飞机F飞行轨迹多变，很难被跟踪。同时，终端接收的GPS数据中还有噪声。B先生引导的导弹E燃料有限，因此不能长时间、频繁地机动。因此，B先生希望程序D要尽可能准的估计出F的位置，尽可能少机动，跟踪F并将其击落。

假如，A先生控制F急速攀升，如图1a。D得到的数据如图1b中的红色点。如果不进行预测，直接根据GPS数据控制E机动，E的运动轨迹如图1c，绿色的轨迹线。E很可能因燃料不足提前爆炸，而没有击中F。B先生很希望D能够根据GPS数据计算出如图1d所示的轨迹（橙色的轨迹线），来引导E去追踪F。

 

a                        b                        c                        d

图1 a、被观测对象实际的运动轨迹；b、我们观测到的被观测对象的运动轨迹；

c、如果不滤波的话，预测的轨迹；d、滤波后的预测轨迹。

假如A先生很狡猾，他控制F飞行，其飞行轨迹如图2所示。B先生深感压力巨大，如何才能有效的跟踪F，并将其击落呢。

图2 A先生控制的直升飞机F可能飞出的轨迹（终端C得到的GPS数据）。

颜色越深，获取数据的时间越早；反之，颜色越浅，获取时间越晚。

程序D根据终端C提供的GPS数据，估计F的位置（x，y），时间t的采样记为。使用前t个时刻的采样，估计，使得该估计满足，

                                                                                                 (1)

                                                                                              (2)

其中，为范数。公式(1)是对历史数据的平滑（smooth，filter），公式(2)是对未来数据的预测（predict）。求解的过程是数据模型的更新。正如绪论中讨论的那样，数据模型可以形式化为，

其中s为观测直接得到的数据，为观测数据的一阶微分或者偏微分，为二阶微分或者偏微分，省略的部分为更高阶的微分或者偏微分。假如模型的复杂度函数h和模型涉及的数据的阶数相关，阶数越小复杂度越小，阶数越高复杂度越高。估计需要满足的第三个公式是

                                                                                                    (3)

模型的复杂度控制就是正则化。

B将D指导E跟踪F轨迹这一问题抽象为这样一个模型，其中涉及观察变量和状态变量。观察变量是终端C得到的GPS数据，状态变量是程序D用于估计F位置的。Ft-1是状态转移矩阵，描述F的运动模型。Gt-1是控制矩阵，是外控制变量。Ht是观测矩阵，描述观测和状态之间的关系。Wt-1和Vt是高斯白噪声，covariance分别是Q和R，假设其不随状态变量变化。

                                                                      (4)

                                                                                            (5)

Ft和Ht的如何确定的呢？我们首先插入一段广告。对于一个具有n阶导数的函数f，其在x处的泰勒展开为

                                  (6)

忽略2阶以上的项，取x=t，x0=t-1，则上式可以写成

                                                               (7)

对上式分别求1阶和2阶导数有

                                                                              (8)

                                                                                          (9)

用矩阵的形式重写公式（7）如下

                                                                      (10)

对于离散模型的，微分用差分近似表示，式（8）（9）改写为

                                                                                  (11)

                                                     (12)

                                                                   (13)

式（13）给出了要估计的函数、导数与观测数据之间的关系。

广告时间结束，言归正传Ft描述的是状态之间的关系。该关系受到运动学的基本关系式的约束。牛顿运动学定律可以使用式（10）表示。

如果，我们想实时更新状态变量的值，式（13）告诉我们，观测数据是如何影响状态变量的。如果不想实时更新，就可以仅用式（10）。

根据式（10），Ft和Ht的具体形式为

                                                                                     (14)

                                                                                          (15)

                                                                                    (16)

在t时刻，根据式（4）预测F的当前位置，根据式（5）得到终端C得到的GPS数据的预测值。使用t-1时刻的最优状态估计，代入式（4）得

                                           （17）

的covariance更新如下，其中covariance用P表示

                                          （18）

是的covariance，是的covariance。式（17）、（18）完成了预测，如何结合新的观测求解最优估计呢，继续往后看。t时刻的观测变量的预测

                                                                 （19）

观测变量的covariance

                                                                （20）

Kalman增益

                                                                       （21）

t时刻观测变量的真实值与预测值之间的残差

                                                                          （22）

t时刻观测变量的最优估计

                                                             （23）

其covariance的最优估计是

                                                          （24）

公式（17）-（24）可以使用图3解释（图3使用观测变量来表示，而没有具体描述状态变量的预测和寻优的过程）。公式（17）-（19）对应的是图3b，根据图3a的t-1时刻的最优估计预测t时刻的观测变量。公式（20）-（24）对应的是图3d，根据图3c的新观测变量计算最优状态变量和观测变量。

                              （25）

                                              （26）

首先根据状态转移模型计算状态值的预测，求得观测变量的预测值。然后获得新的观测变量。再结合观测变量和观测变量的预测值，求出状态和观测变量的最优估计值。下面给出的是t时刻最优估计的模型，依然是高斯的。

   

a                                  b                                  c                                  d

图3 F位置估计

Kalman Filter的matlab代码

% the data to estimate

lens=100;

a=2;

b=50;

x=1:lens;

y=a*x+b*randn(1,lens);

D=[x;y];

% the number of the stateparamters

StateParamNum=4;

% the number of thecontrol parameters

ContrParamNum=2;

% the number of theobservation parameters

ObsevParamNum=2;

% the motion transitionmatrix

F=[1 0 1 0;0 1 0 1;0 0 1 0;0 00 1];

% the control matrix

G=[0.5 0;0 0.5;1 0;0 1];

% the observation matrix

H=[1 0 0 0;0 1 0 0];

% the state vector

X=zeros(StateParamNum,1);

X=[D(1,1);D(2,1);0.001;0.001];

% the control vector

U=0*randn(2,1);

% the observation vector

Z=zeros(ObsevParamNum,1);

% the covariance of thestate

P=eye(StateParamNum,StateParamNum);

P(1,1)=10;

P(2,2)=10;

P(3,3)=10;

P(4,4)=10;

% the covariance of thestate noise

q=eye(StateParamNum,StateParamNum);

q(1,1)=0.1;

q(2,2)=0.1;

q(3,3)=0.01;

q(4,4)=0.01;

% the covariance of theobserve noise

r=eye(ObsevParamNum,ObsevParamNum);

r(1,1)=10;

r(2,2)=10;

% the optimal estimationof the the state

Xf=zeros(StateParamNum,lens);

% the optimal estimationof the the observation

Zf=zeros(ObsevParamNum,lens);

V=zeros(ObsevParamNum,lens);

Pf=zeros(StateParamNum,lens);

for i=1:lens

    % theestimation of the state in time t

    Xest=F*X+G*U;

    % thecovariance of the estimated state

    Pest=F*P*F'+q;

    % theestimation of the observation in time t

    Zest=H*Xest;

    % thecovariance of the estimated observation

    Sest=H*Pest*H'+r;

    % theKalman Gain

    K=Pest*H'*inv(Sest);

    % thedifference between estimation and observation

    v=D(:,i)-Zest;

    % theoptimal estimation of the state in time t

    X=Xest+K*v;

    % thecovariance of the optimal state

   P=(eye(StateParamNum,StateParamNum)-K*H)*Pest;

    % theoptimal estimation of the observation in time t

    Z=H*X;

    Xf(:,i)=X;

    Zf(:,i)=Z;

    V(:,i)=v;

    Pf(:,i)=diag(P);

end

figure(1)

hold on

colormax=lens+1;

c=(1:lens-1)/colormax;

c1=repmat(c,3,1);

c2=[ones(1,lens-1);repmat(c,2,1)];

for i=1:lens-1

    plot(D(1,i:i+1),D(2,i:i+1),...

        'LineWidth',3,'Color',c1(:,i)');

    plot(Zf(1,i:i+1),Zf(2,i:i+1),'-+',...

        'LineWidth',1,'Color',[1 0 0]);

end

hold off

        

a                                  b

图4 a、原始数据和滤波数据；b、拟合误差

上面这段代码中去掉了控制部分，调整q和r可以改善滤波的效果。

在上面的推导过程中，对Kalman滤波有以下几点认识

1、 模型是线性的，体现在公式（4）中；

2、 模型是高斯的，体现在公式（4）、（5）中；

3、式（4）中的F和G矩阵没有更新；

4、状态变量是根据设计者的知识给出的。

综合以上几点，Kalman滤波是一个预设的跟踪器，物体的运动模型，运动之间的关系都是给定的。

我们可以默认这些预设都是正确的，直接来用。但是，人作为第一发现者，是如何从数据中抽象出这些状态，如何从状态到状态的转移求得运动模型，这些都没有解决。如果，这个问题没有解决，我们将无法进入下一个螺旋上升的阶段。说到这里，我不得不怀疑这样一点——我们获得的所谓的运动模型，所谓的状态变量的内容，是不是某些非人类的文明灌输给我们的。如果是这样的，那么我们不可能发现螺旋上升的途径；如果不是这样，这些是我们自己发现的，那么我们就有办法重新发现“发现知识”的过程，指导我们进入下一个螺旋。