【题解】晋升者计数 Promotion Counting [USACO 17 JAN] [P3605]
奶牛们又一次试图创建一家创业公司，还是没有从过去的经验中吸取教训。!牛是可怕的管理者！
【题目描述】
奶牛从 \(1\) ~ \(N(1≤N≤1e5)\) 进行了编号，把公司组织成一棵树，\(1\)号奶牛作为总裁（树的根节点）。除总裁以外的每头奶牛都有且仅有唯一的一个的上司（即它在树上的父结点）。每一头牛\(i\)都有一个不同的能力指数 \(p(i)\)，描述了她对其工作的擅长程度。如果奶牛 \(i\) 是奶牛 \(j\) 的父亲或祖先节点，那么奶牛 \(j\) 即为 \(i\) 的下属。
不幸地是，奶牛们发现经常有一个上司比她的下属能力低的情况，在这种情况下，上司应当考虑晋升她的一些下属。你的任务是对于公司的中的每一头奶牛 \(i\)，计算其满足 \(p(j)>p(i)\) 的下属 \(j\) 的数量。
【输入】
输入的第一行包括一个整数 \(N\)。
接下来的 \(N\) 行表示每头奶牛的能力指数 \(p(1),p(2)...p(N)\)，接下来的 \(N−1\) 行描述每头奶牛 \((2\) ~ \(N)\) 的上司（父节点）的编号。
【输出】
输出包括 \(N\) 行，输出的第 \(i\) 行表示奶牛 \(i\) 的下属中能力比奶牛 \(i\) 高的数量。
【样例】
样例输入：
5
804289384
846930887
681692778
714636916
957747794
1
1
2
3
样例输出：
2
0
1
0
0
【数据规模】
\(100\%\) \(1 \leqslant N \leqslant 1e5,1 \leqslant p(i) \leqslant 1e9\)
【分析】
不会线段树的先到隔壁去逛逛：线段树详解（全）
问题实质：求树上逆序对
解法一： 树状数组 / 线段树 + dfs
对能力值开一个权值线段树\((\)范围较大 \(1e9\)，加一个离散化\()\)。
对于每个节点 \(i\)，在线段树中查询数值大于 \(a[i]\) 的数的个数，再对于点 \(i\) 所有儿子节点的权值都进行一次【单点修改】操作，将它们都加入进去，再一次进行同样的查询，用其减去前面查询的结果就得到变化量 ∆，即刚刚加入的这个儿子所统领的树\((\)包括它自己\()\)中能力大于 \(p(i)\) 的牛的数量，即 \(ans[i]\)。树状数组可用同样的思路。
【Code】
（线段树）
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define pl p<<1//左段儿子的编号
#define pr p<<1|1//右段儿子的编号
#define Re register int
#define F(a,b) for(i=a;i<=b;++i)
const int N=1e5+3;
int x,i,n,t,Q[N],ip[N],ans[N],nex[N],head[N],tree[N<<2];
struct A{int x,i;bool operator<(A b)const{return x<b.x;};}a[N];
//【重载"<"运算符】自己动手,丰衣足食...
inline void add(Re x,Re y){Q[++t]=y,nex[t]=head[x],head[x]=t;}//数组维护一个链表
inline void in(Re &x){//【快读】自己动手,丰衣足食...
x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
}
inline void change(Re p,Re x,Re L,Re R){
//【单点修改】每个人仅有一个能力值，所以是单点修改
if(L==R){++tree[p];return;}//单点修改的边界:L==R
Re mid=L+R>>1;
if(x<=mid)change(pl,x,L,mid);//注意:单点修改中，进入递归函数的前提：x<=mid
else change(pr,x,mid+1,R);//x>mid
tree[p]=tree[pl]+tree[pr];//递归完子树后更新
}
inline int ask(Re p,Re l,Re r,Re L,Re R){//【区间查询】
if(l<=L&&R<=r)return tree[p];//区间查询的边界: l<=L&&R<=r
Re ans=0,mid=L+R>>1;
if(l<=mid)ans+=ask(pl,l,r,L,mid);//注意区间查询中，进入递归函数的前提：l<=mid
if(r>mid)ans+=ask(pr,l,r,mid+1,R);//r>mid
return ans;
}
inline void dfs(Re x){//搜索遍历树
ans[x]-=ask(1,ip[x]+1,n,1,n);//这里计算出的是其他节点的数据，要减去
for(Re i=head[x];i;i=nex[i])dfs(Q[i]);//先让儿子更新线段树【单点修改】
ans[x]+=ask(1,ip[x]+1,n,1,n);
//查询大于当前这个点x的等级的一共有多少个【区间查询】，再减去原先的
change(1,ip[x],1,n);//让当前这个点x的等级进行【单点修改】
}
int main(){
in(n);
F(1,n)in(a[i].x),a[i].i=i;
std::sort(a+1,a+n+1);//【离散化】依据每个人的能力p(i)排出他们的等级
F(1,n)ip[a[i].i]=i;//用ip[]记录下每个点的等级
F(2,n)in(x),add(x,i);//链表建树，实现从根节点到儿子叶节点的遍历
dfs(1);//从没有上司的根节点1开始遍历
F(1,n)printf("%d\n",ans[i]);
}
（树状数组）
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define Re register int
#define F(a,b) for(i=a;i<=b;++i)
const int N=1e5+3;
int x,i,n,t,C[N],Q[N],ip[N],ans[N],nex[N],head[N];
struct A{int x,i;bool operator<(A b)const{return x<b.x;};}a[N];
inline void add(Re x,Re y){Q[++t]=y,nex[t]=head[x],head[x]=t;}
inline void in(Re &x){
x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
}
inline void addx(Re x){while(x<=n)++C[x],x+=x&(-x);}
inline int ask(Re x){int ans=0;while(x)ans+=C[x],x-=x&(-x);return ans;}
inline void dfs(Re x){
ans[x]-=ask(n)-ask(ip[x]);
for(Re i=head[x];i;i=nex[i])dfs(Q[i]);
ans[x]+=ask(n)-ask(ip[x]);
addx(ip[x]);
}
int main(){
in(n);
F(1,n)in(a[i].x),a[i].i=i;
std::sort(a+1,a+n+1);
F(1,n)ip[a[i].i]=i;
F(2,n)in(x),add(x,i);
dfs(1);
F(1,n)printf("%d\n",ans[i]);
}
解法二：线段树合并
对于 \(N\) 个点每个点都开一个权值线段树。
对公司上司下属关系形成的树进行\(dfs\)遍历，对于每个节点 \(i\) ，将它所有儿子的权值线段树合并到 \(tree[pt[i]](\) 用 \(pt[i]\) 表示节点 \(i\) 所对应的权值线段树的根节点编号\()\)，然后在 \(tree[pt[i]]\) 中查询数值大于 \(a[i]\) 的数的个数即为 \(ans[i]\)。
【Code】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define pl tr[p].lp//左段儿子的编号
#define pr tr[p].rp//右段儿子的编号
#define Re register int
#define F(a,b) for(i=a;i<=b;++i)
const int N=1e5+3;
int x,i,n,t,cnt,Q[N],pt[N],ip[N],ans[N],nex[N],head[N];
struct QAQ{int g,lp,rp,L,R;}tr[N*18];//这里的空间消耗要注意，开太小死活过不了
struct A{int x,i;bool operator<(A b)const{return x<b.x;};}a[N];
//【重载"<"运算符】自己动手,丰衣足食...
inline void add(Re x,Re y){Q[++t]=y,nex[t]=head[x],head[x]=t;}//数组维护一个链表
inline void in(Re &x){//【快读】自己动手,丰衣足食...
x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
}
inline void change(Re p,Re x){//【单点修改】(虽然在这道题中没什么用)
Re L=tr[p].L,R=tr[p].R;//把编号为p的这个区间所覆盖的范围L,R提出来
if(L==R){++tr[p].g;return;}//单修的递归边界:L==R
Re mid=L+R>>1;
if(x<=mid)change(pl,x);//注意:单修中进入递归函数的前提：x<=mid
else change(pr,x);//x>mid
tr[p].g=tr[pl].g+tr[pr].g;//递归完子树后更新
}
inline void creat(Re &p,Re x,Re L,Re R){//建立线段树
tr[p=++cnt].L=L,tr[p].R=R;//动态开点，并记录新编号子树所覆盖的区间范围L,R
if(L==R){tr[p].g=1;return;}//建立线段树时是一个点一个点的建，所以边界类似于单修
Re mid=L+R>>1;
if(x<=mid)creat(pl,x,L,mid);//递归进入前提也类似于单修
else creat(pr,x,mid+1,R);
tr[p].g=tr[pl].g+tr[pr].g;//递归完子树后更新
}
inline int merge(Re p,Re q){//【线段树合并】
if(!p)return q;if(!q)return p;
//当需要合并的点的其中一个编号为0时 (即为空)，返回另一个编号
tr[p].g+=tr[q].g,p;//把q合并到p上面去
pl=merge(pl,tr[q].lp);//分别合并左子树,右子树
pr=merge(pr,tr[q].rp);
return p;
}
inline int ask(Re p,Re l,Re r){//【区间查询】
if(!p)return 0;
Re L=tr[p].L,R=tr[p].R;
if(l<=L&&R<=r)return tr[p].g;//区间查询的边界: l<=L&&R<=r
Re ans=0,mid=L+R>>1;
if(l<=mid)ans+=ask(pl,l,r);//注意区间查询中，进入递归函数的前提：l<=mid
if(r>mid)ans+=ask(pr,l,r);//r>mid
return ans;
}
inline void dfs(Re x){//搜索遍历树
for(Re i=head[x];i;i=nex[i]){
dfs(Q[i]);//先完善儿子的线段树
merge(pt[x],pt[Q[i]]);//把儿子合并进来
}
ans[x]=ask(pt[x],ip[x]+1,n);
//查询大于当前这个点x的等级的一共有多少个【区间查询】，再减去原先的
}
int main(){
in(n);
F(1,n)in(a[i].x),a[i].i=i;
std::sort(a+1,a+n+1);//【离散化】依据每个人的能力p(i)排出他们的等级
F(1,n)ip[a[i].i]=i,creat(pt[a[i].i],i,1,n);
//用ip[]记录下每个点的等级,并建立线段树
//【注意】：进入建树时的编号是原本输入时的编号即a[i].i
F(2,n)in(x),add(x,i);//链表建搜索树，实现从根节点到儿子叶节点的遍历
dfs(1);//从没有上司的根节点1开始遍历
F(1,n)printf("%d\n",ans[i]);
}