【题目描述】
24OI的成员跑到了一片大森林，目的是摘一些毒瘤回去给高一同学吃。
于是在毒瘤树下，cyl沿着一条线钉了N个木桩，并且在相邻两个木桩之间结网，初始时所有的网中都没有毒瘤。
之后，树上可能会掉下毒瘤，cyl也可能拿走一部分毒瘤，我们统一把它们称为“操作”。
在等毒瘤落下的cyl同学正在思考一个问题:对于给定的l,r(l<r),在第l个木桩到第r个木桩里等概率随机取出两个不同的木桩a和b，那么从min(a,b)到max(a,b)之间的所有的网中的毒瘤总数期望有多少呢?
【输入输出格式】
输入格式：
第一行2个正整数N,M，表示有N个木桩，M个操作或询问。
接下来M行，每行将出现以下两种形式中的一种：
C l r v
如果v>=0，表示第l个木桩到第r个木桩之间的每个网中都接到了v个毒瘤；
否则表示cyl从第l个木桩到第r个木桩之间的每个网中都拿走了v个毒瘤；
Q l r
表示对于给定的l,r，要求回答cyl的问题；
所有操作或询问中保证1<=l<r<=N
输出格式：
对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数
若答案为整数a，输出a/1
【输入样例】
4 5
C 1 4 2
C 1 2 -1
Q 1 2
Q 2 4
Q 1 4
【输出样例】
1/1
8/3
17/6
【说明】
所有C操作中的v的绝对值不超过10000。
在任何时刻任意网内的毒瘤个数均为不超过10000的非负整数。
所有测试点的详细情况如下表所示：
Test N M
1 =10 =10
2 =20 =20
3 =100 =100
4 =300 =300
5 =350 =350
6 =2000 =2000
7 =5000 =5000
8 =10000 =10000
9 =50000 =50000
10 =100000 =100000
首先得知道期望是什么：就是该区间内 a, b 的每一种情况所对应的毒瘤数之和除以情况数目。
对了，题中说是两个木桩之间一个网兜，这么做不太方便，我们默认第i个网兜就属于这个网兜左边连着的木桩。
所以对于所有的r，都应r--。
接着说期望，比如区间2到5，那么总情况数就是 [2, 2], [2, 3], [2, 4], [2, 5], [3, 3], [3, 4], [3, 5], [4, 4], [4, 5], [5, 5]。
那么对于长度为 L (L = r - l + 1)的区间，总情况数就是1 + 2 + 3 + 4 + …… + L。
因此只要预处理一个前缀和数组就能解决分母了。
接下来是分子，即每一个情况所对应的毒瘤数之和。
我们可以换一种思路，去求网兜i在 l 到r区间里总共出现了多少次。
于是易得
次数 = (i - l + 1) * (r - i + 1) * w[i] (1)
w[i]为当前网兜 i 里的毒瘤数
于是
总次数 = sum((i - l +1) * (r - i + 1) * w[i]) (i : l -> r)
对于(1), 当我们把括号打开后
次数 = - i * i * w[i] + (r + l) * i * w[i] + (-l * r - l + r + 1) * w[i]
于是线段树就派上用场了，开一个线段树，同时维护sum1(w[i]), sum2(i * w[i]), sum3(i * i * w[i]).
对于sum1(w[i])，就是普通的区间求和。
对于sum2(i * w[i])，若是区间每一个数加 v，则这个区间的sum2就增加了(l + (l + 1) + (l + 2) + …… + r)。于是我们可以预处理一个前缀和（其实和分母的前缀和一样）。
对于sum3(i * i * w[i])，若是区间每一个数加v，则这个区间sum3就增加了(l ^ 2 + (l + 1) ^ 2 + (l + 2) ^ 2 +…… + r ^ 2)。于是同样可以预处理一个i ^ 2的前缀和。
综上，一个lazy[],三个sum[].
1 #include<cstdio>
2 #include<algorithm>
3 #include<cstring>
4 #include<iostream>
5 #include<cmath>
6 using namespace std;
7 typedef long long ll;
8 const int maxn = 2e5 + 5;
9
10 int n, m;
11 ll sigma1[maxn], sigma2[maxn];
12 ll ans1 = 0, ans2 = 0, ans3 = 0;
13
14 void init(int n)
15 {
16 for(ll i = 1; i <= n; ++i)
17 {
18 sigma1[i] = sigma1[i - 1] + i;
19 sigma2[i] = sigma2[i - 1] + i * i;
20 }
21 }
22
23 struct Tree
24 {
25 int l, r;
26 ll sum1, sum2, sum3; //w[i], i * w[i],i * i * w[i]
27 int lazy;
28 }tree[maxn << 2];
29 void build(int L, int R, int now)
30 {
31 tree[now].l = L; tree[now].r = R;
32 if(L == R) return;
33 int mid = (L + R) >> 1;
34 build(L, mid, now << 1);
35 build(mid + 1, R, now << 1 | 1);
36 }
37 void update(int L, int R, int now, int v)
38 {
39 if(tree[now].l == L && tree[now].r == R)
40 {
41 tree[now].lazy += v;
42 return;
43 }
44 tree[now].sum1 += (ll) v * (R - L + 1);
45 tree[now].sum2 += (ll) v * (sigma1[R] - sigma1[L - 1]);
46 tree[now].sum3 += (ll) v * (sigma2[R] - sigma2[L - 1]);
47 int mid = (tree[now].l + tree[now].r) >> 1;
48 if(R <= mid) update(L, R, now << 1, v);
49 else if(L > mid) update(L, R, now << 1 | 1, v);
50 else {update(L, mid, now << 1, v); update(mid + 1, R, now << 1 | 1, v);}
51 }
52 void pushdown(int now)
53 {
54 if(tree[now].lazy)
55 {
56 tree[now].sum1 += (ll) tree[now].lazy * (tree[now].r - tree[now].l + 1);
57 tree[now].sum2 += (ll) tree[now].lazy * (sigma1[tree[now].r] - sigma1[tree[now].l - 1]);
58 tree[now].sum3 += (ll) tree[now].lazy * (sigma2[tree[now].r] - sigma2[tree[now].l - 1]);
59 tree[now << 1].lazy += tree[now].lazy;
60 tree[now << 1 | 1].lazy += tree[now].lazy;
61 tree[now].lazy = 0;
62 }
63 }
64 void query(int L, int R, int now)
65 {
66 pushdown(now);
67 if(tree[now].l == L && tree[now].r == R)
68 {
69 ans1 += tree[now].sum1;
70 ans2 += tree[now].sum2;
71 ans3 += tree[now].sum3;
72 return;
73 }
74 int mid = (tree[now].l + tree[now].r) >> 1;
75 if(R <= mid) query(L, R, now << 1);
76 else if(L > mid) query(L, R, now << 1 | 1);
77 else {query(L, mid, now << 1); query(mid + 1, R, now << 1 | 1);}
78 }
79 ll gcd(ll x,ll y)
80 {
81 return y ? gcd(y, x % y) : x;
82 }
83
84 int main()
85 {
86 scanf("%d%d", &n, &m);
87 init(n);
88 build(1, n, 1);
89 for(int i = 1; i <= m; ++i)
90 {
91 char c; int L, R;
92 cin >> c; scanf("%d%d", &L, &R);
93 R--;
94 if(c == 'C')
95 {
96 int v; scanf("%d", &v);
97 update(L, R, 1, v);
98 }
99 else
100 {
101 ans1 = ans2 = ans3 = 0;
102 query(L, R, 1);
103 ll Upans = (R - L - (ll)L * R + 1) * ans1 + (R + L) * ans2 - ans3;
104 ll Downans = sigma1[R - L + 1];
105 ll div = gcd(Upans, Downans);
106 printf("%lld/%lld\n", Upans / div, Downans / div);
107 }
108 }
109 return 0;
110 }