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我们知道,一棵树可以用括号序列来表示,但是,一棵顶点标号(1~n)的树,还可以用一个叫做 Purfer Sequence 的数列表示
一个含有 n 个节点的 Purfer Sequence 有 n-2 个数,Purfer Sequence 中的每个数是 1~n 中的一个数
一个定理:一个 Purfer Sequence 和一棵树一一对应
先看看怎么由一个树得到 Purfer Sequence
由一棵树得到它的 Purfer Sequence 总共需要 n-2 步,每一步都在当前的树中寻找具有最小标号的叶子节点(度为 1),将与其相连的点的标号设为 Purfer Sequence 的第 i 个元素,并将此叶子节点从树中删除,直到最后得到一个长度为 n-2 的 Purfer Sequence 和一个只有两个节点的树
看看下面的例子:
假设有一颗树有 5 个节点,四条边依次为:(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5),如下图所示:
第 1 步,选取具有最小标号的叶子节点 3,将与它相连的点 1 作为第 1 个 Purfer Number,并从树中删掉节点 3:
第 2 步,选取最小标号的叶子节点 1,将与其相连的点 2 作为第 2 个 Purfer Number,并从树中删掉点 1:
第 3 步,选取最小标号的叶子节点 4,将与其相连的点 2 作为第 3 个 Purfer Number,并从树中删掉点 4:
最后,我们得到的 Purfer Sequence 为:1 2 2
不难看出,上面的步骤得到的 Purfer Sequence 具有唯一性,也就是说,一个树,只能得到一个唯一的 Purfer Sequence
接下来看,怎么由一个 Purfer Sequence 得到一个树
由 Purfer Sequence 得到一棵树,先将所有编号为 1 到 n 的点的度赋初值为 1,然后加上它在 Purfer Sequence 中出现的次数,得到每个点的度
先执行 n-2 步,每一步,选取具有最小标号的度为 1 的点 u 与 Purfer Sequence 中的第 i 个数 v 表示的顶点相连,得到树中的一条边,并将 u 和 v 的度减一
最后再把剩下的两个度为 1 的点连边,加入到树中
我们可以根据上面的例子得到的 Purfer Sequence :1 2 2 重新得到一棵树
Purfer Sequence *有 3 个数,可以知道,它表示的树*有 5 个点,按照上面的方法计算他们的度为下表所示:
顶点 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
度 | 2 | 3 | 1 | 1 | 1 |
第 1 次执行,选取最小标号度为 1 的点 3 和 Purfer Sequence 中的第 1 个数 1 连边:
将 1 和 3 的度分别减一:
顶点 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
度 | 1 | 3 | 0 | 1 | 1 |
第 2 次执行,选取最小标号度为 1 的点 1 和 Purfer Sequence 中的第 2 个数 2 连边:
将 1 和 2 的度分别减一:
顶点 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
度 | 0 | 2 | 0 | 1 | 1 |
第 3 次执行,将最小标号度为 1 的点 4 和 Purfer Sequence 第 3 个数 2 连边:
将 2 和 4 的度分别减一:
顶点 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
度 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
最后,还剩下两个点 2 和 5 的度为 1,连边:
至此,一个 Purfer Sequence 得到的树画出来了,由上面的步骤可知,Purfer Sequence 和一个树唯一对应。
综上,一个 Purfer Sequence 和一棵树一一对应。
2016年1月10日15:37:54