背景
AB实验可谓是互联网公司进行产品迭代增加用户粘性的大杀器。但人们对AB实验的应用往往只停留在开实验算P值，然后let it go。。。let it go 。。。
让我们把AB实验的结果简单的拆解成两个方面:
\[P(实验结果显著) = P(统计检验显著|实验有效)× P(实验有效)\]
如果你的产品改进方案本来就没啥效果当然怎么开实验都没用，但如果方案有效，请不要让 statictical Hack 浪费一个优秀的idea
如果预期实验效果比较小，有哪些基础操作来增加实验显著性呢？
通常情况下为了增加一个AB实验的显著性，有两种常见做法：增加流量或者增长实验时间。但对一些可能对用户体验产生负面影响或者成本较高的实验来说，上述两种方法都略显粗糙。
对于成熟的产品来说大多数的改动带来的提升可能都是微小的！
在数据为王的今天，我们难道不应该采用更精细化的方法来解决问题么？无论是延长实验时间还是增加流量一方面都是为了增加样本量，因为样本越多，方差越小，p值越显著，越容易检测出一些微小的改进。
因此如果能合理的通过统计方法降低方差，就可能更快，更小成本的检测到微小的效果提升
CUPED(Controlled-experiment Using Pre-Experiment Data)应运而生。 下面我会简单总结一下论文的核心方法，还有几个Bing, Netflix 以及Booking的应用案例。
论文
Deng A, Xu Y, Kohavi R, Walker T. Improving the Sensitivity of Online Controlled Experiments by Utilizing Pre-experiment Data. Proceedings of the Sixth ACM International Conference on Web Search and Data Mining. New York, NY, USA: ACM; 2013. pp. 123–132. Paper链接
核心方法总结
论文的核心在于通过实验前数据对实验核心指标进行修正，在保证无偏的情况下，得到方差更低, 更敏感的新指标，再对新指标进行统计检验(p值）。
这种方法的合理性在于，实验前核心指标的方差是已知的，且和实验本身无关的，因此合理的移除指标本身的方差不会影响估计效果。
作者给出了stratification和Covariate两种方式来修正指标，同时给出了在实际应用中可能碰到的一些问题以及解决方法.
stratifiaction
这种方式针对离散变量，一句话概括就是分组算指标。如果已知实验核心指标的方差很大，那么可以把样本分成K组，然后分组估计指标。这样分组估计的指标只保留了组内方差，从而剔除了组间方差。
\[
\begin{align}
k &= {1,2,...,K} \\
\hat{Y}_{strat} &= \sum_{k=1}^{K} w_k * (\frac{1}{n_k}*\sum_{x_i \in k} Y_i )\\
Var(\hat{Y}) &= Var_{\text{within_strat}} + Var_{\text{between_strat}}\\
&=\sum_{k=1}^K\frac{w_k}{n} \sigma_k^2 + \sum_{k=1}^K\frac{w_k}{n} (\mu_k - \mu)^2\\
&>=\sum_{k=1}^K\frac{w_k}{n} \sigma_k^2 = Var(\hat{Y}_{strat})
\end{align}
\]
Covariate
Covariate适用于连续变量。需要寻找和实验核心指标(Y)存在高相关性的另一连续特征（X），然后用该特征调整实验后的核心指标。X和Y相关性越高方差下降幅度越大。因此往往可以直接选择实验前的核心指标作为特征。只要保证特征未受到实验影响，在随机AB分组的条件下用该指标调整后的核心指标依旧是无偏的。
\[ \begin{align} Y_i^{cov} &= Y_i - \theta(X_i - E(x))\\ \hat{Y}_{cov} &= \hat{Y} - \theta(\bar{x} - E(x))\\ \theta &= cov(X,Y)/cov(X)\\ Var(\hat{Y}_{cov}) & = Var(\hat{Y}) * (1-\theta^2) \end{align} \]
stratification和Covariate其实是相同的原理，从两个角度来看：
- 从回归预测的角度，实验核心指标是Y，降低Y的方差就是寻找和Y相关的自变量X来解释Y中信息的过程(提升\(R^2\))，X可以是连续也可以是离散的
- 从投资组合的角度，Y是组合中的一项资产，想要降低交易Y的风险（方差）,就要做空和Y相关的X资产来对冲风险，相关性越高对冲效果越好
下图摘自Booking的案例，他们的核心指标是每周的房间预定量，Covariate是实验前的每周房间预定量，博客链接在案例分享里。
实战攻略
covariate的选择
这里的选择包括两个方面，特征的选择和计算特征的pre-experiment时间长度的选择。
核心指标在per-experiment的估计通常是很好的covariate的选择，且估计covariate选择的时间段相对越长效果越好。时间越长covariate的覆盖量越大，且受到短期波动的影响越小估计更稳定。
没有pre-experiment数据怎么办
这个现象在互联网中很常见，新用户或者很久不活跃的用户都会面临没有近期行为特征的问题。作者认为可以结合stratification方法对有/无covariate的用户进一步打上标签。或者其实不仅局限于pre-experiment特征，只要保证特征不受到实验影响post-experiment特征也是可以的。
而在Booking的案例中,作者选择对这部分样本不作处理，因为通常缺失值是用样本均值来填充，在上述式子中就等于是不做处理。
Attention
Covariate选择的核心是\(E(X^{treatment}) = E(X^{control})\),这一点不论你选择什么特征, 是pre-experiment还是post-experiment都要保证。
当然也有用CUPED来矫正实验组对照组差异的，但这个内容不在这里讨论。
应用案例
Bing 加载时间对用户点击率的影响
论文中作者在实际AB实验中检验了CUPED的效果。Bing实验检测检测加载时间对用户点击率的影响。 一个原本运行两周只有个别天显著的实验在用CUPED调整后在第一天就显著，当把CUPED估计用的样本减少一半后显著性依旧超过直接使用T-test.
Netflix 多种方法的实际效果对比
Netflix尝试了一种新的stratification, 上述论文中的stratification被称作post-stratification因为它只在估计实验效果时用到分组，这时用pre-experiment估计的分组概率会和随机AB分组得到的实验中的分组概率存在一定差异，所以Netflix尝试在实验前就进行分层分组。通过多个实验结果，Netflix得到以下结论:
- 大样本下，post-strat在实际中更灵活和pre-strat表现相当
- 能否成功找到和实验核心指标相关的covariate是成功的关键
Booking.com 新日历交互对用户影响
How Booking.com increases the power of online experiments with CUPED
实验效果对比如下，CUPED用更少的样本更短的时间得到了显著的结果。了解细节请戳上面的博客，作者讲的非常通俗易懂。