什么是斐波那契数列？
斐波那契数列是这样一个数列，它满足：
f(0) = 0;
f(1) = 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (当n>=2时)

到底有几种方法，这些思路里蕴含的优化思路究竟是怎么样的，今天和大家聊一聊。

一、递归法
伪代码：
uint32_t f(uint32_t n){
if(n==0) return 0;
if(n==1) return 1;
return f(n-1)+f(n-2);
}

思路：这是一个递归的代码，非常清晰，直接把斐波那契数列的定义翻译成了代码。

例如：
假设要求f(5)
f(5) = f(4) + f(3);
于是会递归计算f(4)和f(3);

接着要求f(4)
f(4) = f(3)+ f(2);
于是会递归计算f(3)和f(2);

可以看到，计算f(5)和f(4)中都要计算f(3)，但这两次f(3)会重复计算，这就是递归的最大问题，对于同一个f(a)，不能复用。

计算一个f(n)到底需要有多少次递归调用呢？
我们可以在代码里加一个计数验证一下。

伪代码：
static uint32_t count=0; // 加一个全局变量计数

uint32_t f(uint32_t n){
count++; // 递归一次，计数加一
if(n==0) return 0;
if(n==1) return 1;
return f(n-1)+f(n-2);
}

实验的结果：
f(5) count = 15
f(10) count = 177
f(15) count = 1K+
f(20) count = 2W+
f(25) count = 24W+
f(30) count = 269W+
f(35) count = 2986W+
f(40) count = 3.3Y+

画外音：
（1）这个count，是函数递归了对少次；
（2）f(45)，机器居然算不出来；
（3）对结论有疑问的，自己可以run一把；

启示：
（1）斐波那契数列求解，如果用直接法，时间复杂度是指数级的，不可行；
（2）如果没有太大的把握，工程中尽量少使用递归，容易把自己玩死；

二、正推法
从斐波那契数列的定义：
f(0) = 0;
f(1) = 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2) n>=2时

可以看出，每一个新的f(n)，是前两个旧的f(n-1)和f(n-2)之和，一路递归下去，最终都将递归到f(0)和f(1)上来。

反过来想，我们不倒着f(n),f(n-1),f(n-2)这么计算，而是f(0),f(1),f(2)…f(n)这么正向计算，岂不是更快么？

伪代码：
uint32_t f(uint32_t n){
uint32_t arr[n];
arr[0]=0;
arr[1]=1;
for(uint32_t i=2;i<=n;i++){
arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2];
}
return arr[n];
}

这么正向的计算，只需要一个for循环，就能够计算出f(n)的值，时间复杂度是O(n)。

三、通项公式法
f(0) = 0;
f(1) = 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (当n>=2时)
大学学过相关课程，可解出f(n)通项公式。
画外音：额，是不是有朋友读了个假大学。

线性递推数列：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
对应的特征方程是：
x^2 = x + 1

求解特征方程得到：
x1=(1+√5)/2
x2=(1-√5)/2

于是得到：
f(n) = a1(x1)^n + a2(x2)^n

将：
f(0) = 0;
f(1) = 1;
代入上述通项公式。

于是得到：
a1=1/√5
a2=-1/√5

于是最终得到：
f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n -[(1-√5)/2]^n}
画外音：别问我为什么懂这些，我TM作为计算机信息安全专业，也被数论，有限域，加密解密这些数学学科折磨过。

可忽略上述吹牛*的过程，百度一下能得到答案。

总之，得到了斐波那契数列通项公式：
f(n) = a1(b1)^n + a2(b2)^n
其中a1, b1, a2, b2四个数字都是常数。

想求f(45)，把n=45带入上述通项公式即可。

那么，带入通项公式求解，时间复杂度是多少呢？是O(1)么？
通项公式的计算，并不能O(1)得到，而是一个a^n，即power(a, n)的求解过程。

那么，如何求解a的n次方呢？
最粗暴的方法，将a不断的自乘n次。

伪代码：
uint64_t power(uint64_t a, uint64_t n){
uint64_t result=a;
for(uint64_t i=1;i<n;i++){
result *=a;
}
return result;
}

很容易知道，a通过for循环不断自乘，求解a^n的时间复杂度是O(n)。

通过“正推”法，求解f(n)的时间复杂度是O(n)。
转载拜托，面试别再问我斐波那契数列了！！！