反向传播算法实战
本文仅仅是反向传播算法的实现，不涉及公式推导，如果对反向传播算法公式推导不熟悉，强烈建议查看另一篇文章神经网络之反向传播算法（BP）公式推导（超详细）
我们将实现一个 4 层的全连接网络，来完成二分类任务。网络输入节点数为 2，隐藏 层的节点数设计为：25、50和25，输出层两个节点，分别表示属于类别 1 的概率和类别 2 的概率，如下图所示。这里并没有采用 Softmax 函数将网络输出概率值之和进行约束， 而是直接利用均方误差函数计算与 One-hot 编码的真实标签之间的误差，所有的网络激活 函数全部采用 Sigmoid 函数，这些设计都是为了能直接利用我们的梯度传播公式。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
1. 准备数据
X, y = datasets.make_moons(n_samples=1000, noise=0.2, random_state=100)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)
print(X.shape, y.shape)
(1000, 2) (1000,)
def make_plot(X, y, plot_name):
plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.title(plot_name, fontsize=30)
plt.scatter(X[y==0, 0], X[y==0, 1])
plt.scatter(X[y==1, 0], X[y==1, 1])
make_plot(X, y, "Classification Dataset Visualization ")
2. 网络层
- 通过新建类
Layer实现一个网络层，需要传入网络层的输入节点数、输出节点数、激 活函数类型等参数 - 权值
weights和偏置张量bias在初始化时根据输入、输出节点数自动 生成并初始化
class Layer:
# 全链接网络层
def __init__(self, n_input, n_output, activation=None, weights=None, bias=None):
"""
:param int n_input: 输入节点数
:param int n_output: 输出节点数
:param str activation: 激活函数类型
:param weights: 权值张量，默认类内部生成
:param bias: 偏置，默认类内部生成
"""
self.weights = weights if weights is not None else np.random.randn(n_input, n_output) * np.sqrt(1 / n_output)
self.bias = bias if bias is not None else np.random.rand(n_output) * 0.1
self.activation = activation # 激活函数类型，如’sigmoid’
self.activation_output = None # 激活函数的输出值 o
self.error = None # 用于计算当前层的 delta 变量的中间变量
self.delta = None # 记录当前层的 delta 变量，用于计算梯度
def activate(self, X):
# 前向计算函数
r = np.dot(X, self.weights) + self.bias # X@W + b
# 通过激活函数，得到全连接层的输出 o (activation_output)
self.activation_output = self._apply_activation(r)
return self.activation_output
def _apply_activation(self, r): # 计算激活函数的输出
if self.activation is None:
return r # 无激活函数，直接返回
elif self.activation == 'relu':
return np.maximum(r, 0)
elif self.activation == 'tanh':
return np.tanh(r)
elif self.activation == 'sigmoid':
return 1 / (1 + np.exp(-r))
return r
def apply_activation_derivative(self, r):
# 计算激活函数的导数
# 无激活函数， 导数为 1
if self.activation is None:
return np.ones_like(r)
# ReLU 函数的导数
elif self.activation == 'relu':
grad = np.array(r, copy=True)
grad[r > 0] = 1.
grad[r <= 0] = 0.
return grad
# tanh 函数的导数实现
elif self.activation == 'tanh':
return 1 - r ** 2
# Sigmoid 函数的导数实现
elif self.activation == 'sigmoid':
return r * (1 - r)
return r
3. 网络模型
- 创建单层网络类后，我们实现网络模型的
NeuralNetwork类 - 它内部维护各层的网络 层
Layer类对象，可以通过add_layer函数追加网络层， - 实现创建不同结构的网络模型目 的。
y_test.flatten().shape
(300,)
class NeuralNetwork:
def __init__(self):
self._layers = [] # 网络层对象列表
def add_layer(self, layer):
self._layers.append(layer)
def feed_forward(self, X):
# 前向传播（求导）
for layer in self._layers:
X = layer.activate(X)
return X
def backpropagation(self, X, y, learning_rate):
# 反向传播算法实现
# 向前计算，得到最终输出值
output = self.feed_forward(X)
for i in reversed(range(len(self._layers))): # 反向循环
layer = self._layers[i]
if layer == self._layers[-1]: # 如果是输出层
layer.error = y - output
# 计算最后一层的 delta，参考输出层的梯度公式
layer.delta = layer.error * layer.apply_activation_derivative(output)
else: # 如果是隐藏层
next_layer = self._layers[i + 1]
layer.error = np.dot(next_layer.weights, next_layer.delta)
layer.delta = layer.error*layer.apply_activation_derivative(layer.activation_output)
# 循环更新权值
for i in range(len(self._layers)):
layer = self._layers[i]
# o_i 为上一网络层的输出
o_i = np.atleast_2d(X if i == 0 else self._layers[i - 1].activation_output)
# 梯度下降算法，delta 是公式中的负数，故这里用加号
layer.weights += layer.delta * o_i.T * learning_rate
def train(self, X_train, X_test, y_train, y_test, learning_rate, max_epochs):
# 网络训练函数
# one-hot 编码
y_onehot = np.zeros((y_train.shape[0], 2))
y_onehot[np.arange(y_train.shape[0]), y_train] = 1
mses = []
for i in range(max_epochs): # 训练 100 个 epoch
for j in range(len(X_train)): # 一次训练一个样本
self.backpropagation(X_train[j], y_onehot[j], learning_rate)
if i % 10 == 0:
# 打印出 MSE Loss
mse = np.mean(np.square(y_onehot - self.feed_forward(X_train)))
mses.append(mse)
print('Epoch: #%s, MSE: %f, Accuracy: %.2f%%' %
(i, float(mse), self.accuracy(self.predict(X_test), y_test.flatten()) * 100))
return mses
def accuracy(self, y_predict, y_test): # 计算准确度
return np.sum(y_predict == y_test) / len(y_test)
def predict(self, X_predict):
y_predict = self.feed_forward(X_predict) # 此时的 y_predict 形状是 [600 * 2]，第二个维度表示两个输出的概率
y_predict = np.argmax(y_predict, axis=1)
return y_predict
4. 网络训练
nn = NeuralNetwork() # 实例化网络类
nn.add_layer(Layer(2, 25, 'sigmoid')) # 隐藏层 1, 2=>25
nn.add_layer(Layer(25, 50, 'sigmoid')) # 隐藏层 2, 25=>50
nn.add_layer(Layer(50, 25, 'sigmoid')) # 隐藏层 3, 50=>25
nn.add_layer(Layer(25, 2, 'sigmoid')) # 输出层, 25=>2
# nn.train(X_train, X_test, y_train, y_test, learning_rate=0.01, max_epochs=50)
def plot_decision_boundary(model, axis):
x0, x1 = np.meshgrid(
np.linspace(axis[0], axis[1], int((axis[1] - axis[0])*100)).reshape(1, -1),
np.linspace(axis[2], axis[3], int((axis[3] - axis[2])*100)).reshape(-1, 1)
)
X_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]
y_predic = model.predict(X_new)
zz = y_predic.reshape(x0.shape)
from matplotlib.colors import ListedColormap
custom_cmap = ListedColormap(['#EF9A9A', '#FFF590', '#90CAF9'])
plt.contourf(x0, x1, zz, linewidth=5, cmap=custom_cmap)
plt.figure(figsize=(12, 8))
plot_decision_boundary(nn, [-2, 2.5, -1, 2])
plt.scatter(X[y==0, 0], X[y==0, 1])
plt.scatter(X[y==1, 0], X[y==1, 1])
<matplotlib.collections.PathCollection at 0x29018d6dfd0>
y_predict = nn.predict(X_test)
y_predict[:10]
array([1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1], dtype=int64)
y_test[:10]
array([1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1], dtype=int64)
nn.accuracy(y_predict, y_test.flatten())
0.86