Modern Algebra 读书笔记

Introduction

本文是Introduction to Modern Algebra(David Joyce, Clark University)的读书笔记。

符号(Notation)

Notation	Meaning
\(\mathbb{N}\)	natural numbers
\(\mathbb{Z}\)	for Zahlen, integers
\(\mathbb{Q}\)	for Quotient, rational numbers
\(\mathbb{R}\)	real numbers
\(\mathbb{C}\)	complex numbers
\(\cong\)	isomorphism
\(\mid\)	divisibility
\(\equiv\)	equivalence relation
\(\equiv \text{ (mod n)}\)	congruence module n
\(\mathbb{H}\)	Quaternions
\(\mathcal{G}\)	category of groups
\(\mathcal{R}\)	category of rings
\(\mathcal{S}\)	category of sets

术语

• 特征元素(identity element)
  别名：neutral element.
  For a binary operation is an element in the set that doesn't change the value of other elements when combined with then under the operation.
  0 is the identity element for addition.
  1 is the identity element for multiplication.

• Inverse elements
  For addition, -x is the inverse element of x, since -x + x = 0.
  For multiplication, 1/x is the inverse element of x, since 1/x * x = 1.

• Algebraic structure
  an algebraic structure is a set (called carrier set or underlying set) with one or more finitary operations defined on it that satisfies a list of axioms.

代数结构的比较概念

• 态射(morphism)
  记做：$f : A \to B $。可以认为是两个域(domain)或集合中元素的映射关系。
  这个词太哲学化，在数学上的含义，可以简单地理解为映射函数。有人用 morphism = arrow + function。
  在抽象代数中讨论了一个集合间映射函数的关系。

• 同构(isomorphisms)
  代数结构A和B相同，除了它们的元素有不同的名字，可以认为这两个代数结构同构，记做：$f : A \cong B $。

• 同态(homomorphisms)
  代数结构A和B不同，但是存在一种元素的映射关系，可以认为这两个代数结构同态，记做：$f : A \to B $。

• 单同态(monomorphisms)
  当同态函数$f : A \to B $是一个单射(injective)函数，称之为一个单同态。

• 满同态(epimorphisms)
  当同态函数$f : A \to B $是一个满射(surjective)函数，称之为一个满同态。

• 自同态(endomorphisms)
  如果一个代数结构A和自己同态，$f : A \to A $，称之为自同态。

• 自同构，自守(automorphisms)
  如果一个代数结构A和自己同构，$f : A \cong A $，称之为自同构。

• 单射(injection(one-to-one))
  值域(codomain)中的每个元素最多只有一个主域(domain)元素与之对应的函数。

• 满射(surjection(onto))
  值域(codomain)中的每个元素最少有一个主域(domain)元素与之对应的函数。

• 双射(bijection(one-to-one + onto))
  值域(codomain)中的每个元素都有一个（且只有一个）主域(domain)元素与之对应的函数。

代数结构 - 域(Field)

• 域(Field)
  一个域由一个集合和对应的操作组成。具有以下性质：
  • 有二元操作：addition, multiplication。（具有封闭性。）
  • addition 具有 commutativity 和 associativity。
  • multiplication 具有 commutativity 和 associativity。
  • multiplication 在 addition 上具有 distributivity。
  • addition 的 identity element是0，每个元素都有addition的反元素。
  • multiplication 的 identity element是1，每个元素(0除外)都有multiplication的反元素。

  • \(0 \neq 1\)

    非正式的说，域具有加减乘除四个操作。

• Subtraction
  The different of tow elements x and y is defined as $ x - y = x + (-y) $.

• Division
  The quotient of tow elements x and a nonzero element y is defined as $ xy^{-1} = x / y $.

• 同余模于n(congruence modulo n)
  两个整数 x 和 y 同余模于n，就是说n可以被x-y的差整除。记做：\(x \equiv y (mod n)\).

• 循环环\(Z_n\)(The cyclic ring \(Z_n\))
  \(Z_n\) is a set of equivalence classes of integers under the equivalence relation which is congruence modulo n.
  有两种理解方式：
  A: 认为\(Z_n\)的元素是 0 到 n-1,任何操作的结果，需要对n求余，匹配到0到n-1这个范围。
  \(Z_6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}\)。

B: 每个整数通过求余数，被重命名为一个新的整数。
\(Z_n\)也可以表示为：\(Z_6 = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}\)。

• 环的特征值(The characteristic of a ring)
  如果1的某个倍数是0，这个最小倍数就是这个环的特征值。如果在一个环中，1的倍数总不是0，则这个环的特征值为0。

• 定理: The cyclic ring \(Z_n\) is a field if and only if n is a prime.
  当且仅当循环环的特征值是一个质数时，这个循环环是一个域。

• 代数数(algebraic numbers)
  如果一个数是一个有理数系数的多项式的解，则这个数是代数数。

• 超越数(transcendental numbers)
  如果一个数不是任何有理数系数的多项式的解，则这个数是超越数。

• 代数式域扩张(algebraic field extensions)
  如果\(x\)满足多项式\(f(x) = 0\)，多项式\(f\)的系数在域\(F\)，则\(x\)是在\(F\)的代数。
  所有的\(x\)组成域\(F'\)，被称为\(F\)的域扩张。
  域扩张仍是一个域。

• 超越式域扩张(transcendental field extensions)
  如果\(F\)的域扩张不是代数式的，则这个域扩张为超越式域扩张。

• 共轭(conjugation)
  符号：\(\overline{C}\)
  Complex conjugation: \(\overline{x + yi} = x - yi\)
  \(\overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b}\)
  \(\overline{ab} = \overline{a} \overline{b}\)

• 基(norm)
  \(|z|^2 = z \overline{z}\)

• A matrix representation of C
  \[
  \begin{bmatrix}
  x & y \\
  -y & x
  \end{bmatrix}
  \ where \ x, y \in R
  \]

• 有序域(ordered fields)
  An ordered field consists of a field F along with a subset P whose elements are called positive such that

1. F is partitioned into three parts: P, {0} and N where
   \[
   N = {x \in F | - x \in P}
   \]
   the elements of N are called negative;
2. the sum of tow positive elements is positive;
3. the product of two positive elements is positive.

环(Ring)

• 环(Ring)
  一个环由一个集合和对应的操作组成。具有以下性质：
  • 有二元操作：addition, multiplication。（具有封闭性。）
  • addition 具有 commutativity 和 associativity。
  • multiplication 具有 associativity。
  • multiplication 在 addition 上具有 distributivity。
  • addition 的 identity element是0，每个元素都有addition的反元素。

  • multiplication 的 identity element是1。

    非正式的说，环具有加减乘三个操作。

• 交换性环(commutative ring)
  如果一个环的乘法具有 commutativity，这个环是交换性环(commutative ring)。

• 幂等(Idempotent)
  当一个元素e，有\(e^2 = e\)，则这个元素是幂等的。

• 0因子(zero-divisor)
  在一个具有交换性的环中，对于一个非0元素x，如果存在一个非0元素y，有\(xy = 0\)，则元素x为0因子。

• 整环(Integral Domain)
  整环是一个具有交换性的环D，在环D中，\(0 \neq 1\)，满足条件：
  1：没有0因子(zero-divisors),
  2：或者满足消除律。
  条件1和2实际上是等价的。

  对于Z[n]，就是n为质数的环。
  定理(Wedderburn)：有限元素的整环是一个域。(因为任何非0元素都有乘法反元素)

• 高斯整数(Gaussian Integers), Z[i]
  \(x + yi \text{ where } x, y \in \mathbb{Z}\)是一个整环(Integral Domain)。

• 艾森斯坦整数(Eisenstein Integers), Z[i]
  \(x + y \omega \text{ where } \omega = \frac{1}{2} ( -1 + i \sqrt{3}) = e^{2\pi i/3}\)是一个整环(Integral Domain)。

布尔环

将逻辑理论带入代数环理论中：
\[
1 = true \\
0 = false \\
xy = P \land Q \\
x + y = P \oplus Q \\
x + y + xy = P \lor Q \\
1 + x = \lnot P
\]

• Boolean Rings
  An element e of a ring is said to be idempotent which \(e^2 = e\). If every element in a ring is idempotent, then the ring is called a Boolean ring.

  我的理解是：布尔环的每个元素的值要么是0（false），要么是1（true）。因为只有0和1的平方才等于自身（幂等）。
  当然，在一个布尔环中允许0和1以外的元素存在，这些元素对应逻辑理论中的命题(proposition)，命题常量，或者也可以是谓词(predicate)等。

核(Kernels)，理想(ideal)和商环(quotient rings)

• 环同态的核(Kernels of ring homomorphisms)
  在一个同态映射中，值域(codomain)是0的域(domain)元素集合。
  Let \(f : R \to S\) be a ring homomorphism. Those elements of R that are sent to 0 in S form the kernel of f.
  \(Ker \ f = f^{-1}(0) = {x \in R | f(x) = 0}\)

• 环的理想(ideal of a ring)
  一个环R的理想I:
  1) includes 0
  2) 对加法具有封闭性。
  3) 与R中任何元素的乘积结果具有在理想I中的封闭性。
  \(0 \in I, I + I \subseteq I, IR \subseteq I, RI \subseteq I\)

  {0} is always an ideal in a ring R. It's called the trivial ideal.
  A proper ideal is an ideal \(I \neq R\).

• Principle ideals
  $$

(a) = {xa | x \in R} \
where
\text{a is an element of a commutative ring R.}
$$

{0} = (0)
R = (1)

• 商环(Quotient rings R/\(\equiv\), R/I)

  • 环的的同余(congruence \(\equiv\))关系。
    The congruence on a ring R is an equivalence relation such that for all \(x, x', y, y' \in R\),
    \(x \equiv x' \ and \ y \equiv y' \ imply \ x + y \equiv x' + y' \ and \ xy \equiv x'y'\)
    x and x' is called congruence classes.

  • 定理：理想的同余模(Congruence modulo an ideal)
    Let I be an ideal of a ring R, A congruence, call congruence module I, is defined by
    \(x \equiv y (mod I) if and only if x - y \in I\)
    THe quotient ring, R/\(\equiv\), is denoted R/I.

群(Group)

• 群(Group)
  一个群由一个集合和对应的操作组成。具有以下性质：
  • 有一个二元操作：addition or multiplication。（具有封闭性。）
  • the binary operation 具有 associativity。
  • the binary operation 的 identity element是0 or 1，

  • 每个元素都有反元素。

    非正式的说，群具有加减两个操作，或者乘除两个操作。

• 子群(subgroup)
  子群H是群G的子集，并且满足：
  • 有1，
  • 乘法具有封闭性
  • 反元素具有封闭性

• 循环群(cyclic groups and subgroups)
  A group or a subgroup is generated by some element a:
  \(\left \langle a \right \rangle = {a^n | n \in \mathbb{z}}\)

• 阶(the order of a group)
  一个群的阶就是它元素的数量，表示为\(|G|\)。
  一个群元素 a 的阶是天河最小正整数n，使得\(a^n = 1\)。

• Involution
  An involution a is an element of a group which is its own inverse, \(a^{-1} = a\)。

• 协作集合(coset)
  Let H be a subgroup of G, A left coset a set of the form
  \(aH = {ah | h \in H}\)
  while a right coset is of the form \(Ha = {ha | h \in H}\).

算术概念

• 单位根(root of unity)
  一个复数，在正整数次方后的结果是1。

• n的基本单位根(primitive nth root of unity)
  对于等式\(z^n = 1\)，使z的正整数次方等于1的最小整数n，则z为\(n^{th}\) primitive root of unity。
  \(\phi(n)\)的n的基本单位根的个数。

• 分圆多项式(Cyclotomic polynomial)
  n的基本单位根的求解多项式。
  The polynomial \(\Phi_n(z) = \prod_{k=1}^{\phi(n)}(z - z_k)\), where \(z_1, z_2, \dots, z_{\phi(n)}\) are the primitive \(n^{th}\) roots of unity, is called the \(n^{th}\) cyclotomic polynomial.

• 代数数(algebraic number)
  代数数是一个复数，并且是一个具有整数系数的一元多项式的根。

• 超越数(transcendental number)
  与代数数相反，超越数不会是一个具有整数系数的一元多项式的根。
  几乎所有的的实数和复数都是超越数。

逻辑

• 自反性 - Law of Reflexivity: Everything is equal to itself
  x = x.

• 对称性 - Law of Symmetry
  If x = y, then y = x.

• 传递性 - Law of Transitivity
  If x = y and y = z, then x = z

• 命题(Proposition)

• 谓词(Predicate)
  a predicate is a statement that may be true or false depending on the values of its variables.
  P(x) is referred to as the predicate, and x the subject of the proposition. Sometimes, P(x) is also called a propositional function

中英文对照

English	中文
addition	加
subtraction	减
multiplication	乘
division	除
negation	非
reciprocation	倒数
power	次方
root	根
commutativity	交换性
associativity	结合性
distributivity	分配性
axiom	公理
theorem	定理
lemma	引理
corollary	推论
polynomial	多项式
denominator	分母
divisor	除数，因子
quotient	商
modulus	模数
coefficient	系数
disjoint	互斥
prime number	质数
composite number	合数
relatively prime	互质
greatest common divisor	最大公约数
least common multiple	最小公倍数

References

• Introduction to Modern Algebra(David Joyce, Clark University)
• Bijection, injection and surjection