Modern Algebra 读书笔记

Modern Algebra 读书笔记

Introduction

本文是Introduction to Modern Algebra(David Joyce, Clark University)的读书笔记。

符号(Notation)

Notation Meaning
\(\mathbb{N}\) natural numbers
\(\mathbb{Z}\) for Zahlen, integers
\(\mathbb{Q}\) for Quotient, rational numbers
\(\mathbb{R}\) real numbers
\(\mathbb{C}\) complex numbers
\(\cong\) isomorphism
\(\mid\) divisibility
\(\equiv\) equivalence relation
\(\equiv \text{ (mod n)}\) congruence module n
\(\mathbb{H}\) Quaternions
\(\mathcal{G}\) category of groups
\(\mathcal{R}\) category of rings
\(\mathcal{S}\) category of sets

术语

  • 特征元素(identity element)
    别名:neutral element.
    For a binary operation is an element in the set that doesn't change the value of other elements when combined with then under the operation.
    0 is the identity element for addition.
    1 is the identity element for multiplication.

  • Inverse elements
    For addition, -x is the inverse element of x, since -x + x = 0.
    For multiplication, 1/x is the inverse element of x, since 1/x * x = 1.

  • Algebraic structure
    an algebraic structure is a set (called carrier set or underlying set) with one or more finitary operations defined on it that satisfies a list of axioms.

代数结构的比较概念

  • 态射(morphism)
    记做:$f : A \to B $。可以认为是两个域(domain)或集合中元素的映射关系。
    这个词太哲学化,在数学上的含义,可以简单地理解为映射函数。有人用 morphism = arrow + function。
    在抽象代数中讨论了一个集合间映射函数的关系。

  • 同构(isomorphisms)
    代数结构A和B相同,除了它们的元素有不同的名字,可以认为这两个代数结构同构,记做:$f : A \cong B $。

  • 同态(homomorphisms)
    代数结构A和B不同,但是存在一种元素的映射关系,可以认为这两个代数结构同态,记做:$f : A \to B $。

  • 单同态(monomorphisms)
    当同态函数$f : A \to B $是一个单射(injective)函数,称之为一个单同态。

  • 满同态(epimorphisms)
    当同态函数$f : A \to B $是一个满射(surjective)函数,称之为一个满同态。

  • 自同态(endomorphisms)
    如果一个代数结构A和自己同态,$f : A \to A $,称之为自同态。

  • 自同构,自守(automorphisms)
    如果一个代数结构A和自己同构,$f : A \cong A $,称之为自同构。

  • 单射(injection(one-to-one))
    值域(codomain)中的每个元素最多只有一个主域(domain)元素与之对应的函数。

  • 满射(surjection(onto))
    值域(codomain)中的每个元素最少有一个主域(domain)元素与之对应的函数。

  • 双射(bijection(one-to-one + onto))
    值域(codomain)中的每个元素都有一个(且只有一个)主域(domain)元素与之对应的函数。

代数结构 - 域(Field)

  • 域(Field)
    一个域由一个集合和对应的操作组成。具有以下性质:
    • 有二元操作:addition, multiplication。(具有封闭性。)
    • addition 具有 commutativity 和 associativity。
    • multiplication 具有 commutativity 和 associativity。
    • multiplication 在 addition 上具有 distributivity。
    • addition 的 identity element是0,每个元素都有addition的反元素。
    • multiplication 的 identity element是1,每个元素(0除外)都有multiplication的反元素。
    • \(0 \neq 1\)

      非正式的说,域具有加减乘除四个操作。

  • Subtraction
    The different of tow elements x and y is defined as $ x - y = x + (-y) $.

  • Division
    The quotient of tow elements x and a nonzero element y is defined as $ xy^{-1} = x / y $.

  • 同余模于n(congruence modulo n)
    两个整数 x 和 y 同余模于n,就是说n可以被x-y的差整除。记做:\(x \equiv y (mod n)\).

  • 循环环\(Z_n\)(The cyclic ring \(Z_n\))
    \(Z_n\) is a set of equivalence classes of integers under the equivalence relation which is congruence modulo n.
    有两种理解方式:
    A: 认为\(Z_n\)的元素是 0 到 n-1,任何操作的结果,需要对n求余,匹配到0到n-1这个范围。
    \(Z_6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}\)。

B: 每个整数通过求余数,被重命名为一个新的整数。
\(Z_n\)也可以表示为:\(Z_6 = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}\)。

  • 环的特征值(The characteristic of a ring)
    如果1的某个倍数是0,这个最小倍数就是这个环的特征值。如果在一个环中,1的倍数总不是0,则这个环的特征值为0。

  • 定理: The cyclic ring \(Z_n\) is a field if and only if n is a prime.
    当且仅当循环环的特征值是一个质数时,这个循环环是一个域。

  • 代数数(algebraic numbers)
    如果一个数是一个有理数系数的多项式的解,则这个数是代数数。

  • 超越数(transcendental numbers)
    如果一个数不是任何有理数系数的多项式的解,则这个数是超越数。

  • 代数式域扩张(algebraic field extensions)
    如果\(x\)满足多项式\(f(x) = 0\),多项式\(f\)的系数在域\(F\),则\(x\)是在\(F\)的代数。
    所有的\(x\)组成域\(F'\),被称为\(F\)的域扩张。
    域扩张仍是一个域。

  • 超越式域扩张(transcendental field extensions)
    如果\(F\)的域扩张不是代数式的,则这个域扩张为超越式域扩张。

  • 共轭(conjugation)
    符号:\(\overline{C}\)
    Complex conjugation: \(\overline{x + yi} = x - yi\)
    \(\overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b}\)
    \(\overline{ab} = \overline{a} \overline{b}\)

  • 基(norm)
    \(|z|^2 = z \overline{z}\)

  • A matrix representation of C
    \[
    \begin{bmatrix}
    x & y \\
    -y & x
    \end{bmatrix}
    \ where \ x, y \in R
    \]

  • 有序域(ordered fields)
    An ordered field consists of a field F along with a subset P whose elements are called positive such that
  1. F is partitioned into three parts: P, {0} and N where
    \[
    N = {x \in F | - x \in P}
    \]
    the elements of N are called negative;
  2. the sum of tow positive elements is positive;
  3. the product of two positive elements is positive.

环(Ring)

  • 环(Ring)
    一个环由一个集合和对应的操作组成。具有以下性质:
    • 有二元操作:addition, multiplication。(具有封闭性。)
    • addition 具有 commutativity 和 associativity。
    • multiplication 具有 associativity。
    • multiplication 在 addition 上具有 distributivity。
    • addition 的 identity element是0,每个元素都有addition的反元素。
    • multiplication 的 identity element是1。

      非正式的说,环具有加减乘三个操作。

  • 交换性环(commutative ring)
    如果一个环的乘法具有 commutativity,这个环是交换性环(commutative ring)。

  • 幂等(Idempotent)
    当一个元素e,有\(e^2 = e\),则这个元素是幂等的。

  • 0因子(zero-divisor)
    在一个具有交换性的环中,对于一个非0元素x,如果存在一个非0元素y,有\(xy = 0\),则元素x为0因子

  • 整环(Integral Domain)
    整环是一个具有交换性的环D,在环D中,\(0 \neq 1\),满足条件:
    1:没有0因子(zero-divisors),
    2:或者满足消除律。
    条件1和2实际上是等价的。

    对于Z[n],就是n为质数的环。
    定理(Wedderburn):有限元素的整环是一个域。(因为任何非0元素都有乘法反元素)

  • 高斯整数(Gaussian Integers), Z[i]
    \(x + yi \text{ where } x, y \in \mathbb{Z}\)是一个整环(Integral Domain)。

  • 艾森斯坦整数(Eisenstein Integers), Z[i]
    \(x + y \omega \text{ where } \omega = \frac{1}{2} ( -1 + i \sqrt{3}) = e^{2\pi i/3}\)是一个整环(Integral Domain)。

布尔环

将逻辑理论带入代数环理论中:
\[
1 = true \\
0 = false \\
xy = P \land Q \\
x + y = P \oplus Q \\
x + y + xy = P \lor Q \\
1 + x = \lnot P
\]

  • Boolean Rings
    An element e of a ring is said to be idempotent which \(e^2 = e\). If every element in a ring is idempotent, then the ring is called a Boolean ring.

    我的理解是:布尔环的每个元素的值要么是0(false),要么是1(true)。因为只有0和1的平方才等于自身(幂等)。
    当然,在一个布尔环中允许0和1以外的元素存在,这些元素对应逻辑理论中的命题(proposition),命题常量,或者也可以是谓词(predicate)等。

核(Kernels),理想(ideal)和商环(quotient rings)

  • 环同态的核(Kernels of ring homomorphisms)
    在一个同态映射中,值域(codomain)是0的域(domain)元素集合。
    Let \(f : R \to S\) be a ring homomorphism. Those elements of R that are sent to 0 in S form the kernel of f.
    \(Ker \ f = f^{-1}(0) = {x \in R | f(x) = 0}\)

  • 环的理想(ideal of a ring)
    一个环R的理想I:
    1) includes 0
    2) 对加法具有封闭性。
    3) 与R中任何元素的乘积结果具有在理想I中的封闭性。
    \(0 \in I, I + I \subseteq I, IR \subseteq I, RI \subseteq I\)

    {0} is always an ideal in a ring R. It's called the trivial ideal.
    A proper ideal is an ideal \(I \neq R\).

  • Principle ideals
    $$

(a) = {xa | x \in R} \
where
\text{a is an element of a commutative ring R.}
$$

{0} = (0)
R = (1)

  • 商环(Quotient rings R/\(\equiv\), R/I)
    • 环的的同余(congruence \(\equiv\))关系。
      The congruence on a ring R is an equivalence relation such that for all \(x, x', y, y' \in R\),
      \(x \equiv x' \ and \ y \equiv y' \ imply \ x + y \equiv x' + y' \ and \ xy \equiv x'y'\)
      x and x' is called congruence classes.

    • 定理:理想的同余模(Congruence modulo an ideal)
      Let I be an ideal of a ring R, A congruence, call congruence module I, is defined by
      \(x \equiv y (mod I) if and only if x - y \in I\)
      THe quotient ring, R/\(\equiv\), is denoted R/I.

群(Group)

  • 群(Group)
    一个群由一个集合和对应的操作组成。具有以下性质:
    • 有一个二元操作:addition or multiplication。(具有封闭性。)
    • the binary operation 具有 associativity。
    • the binary operation 的 identity element是0 or 1,
    • 每个元素都有反元素。

      非正式的说,群具有加减两个操作,或者乘除两个操作。

  • 子群(subgroup)
    子群H是群G的子集,并且满足:
    • 有1,
    • 乘法具有封闭性
    • 反元素具有封闭性
  • 循环群(cyclic groups and subgroups)
    A group or a subgroup is generated by some element a:
    \(\left \langle a \right \rangle = {a^n | n \in \mathbb{z}}\)

  • 阶(the order of a group)
    一个群的阶就是它元素的数量,表示为\(|G|\)。
    一个群元素 a 的阶是天河最小正整数n,使得\(a^n = 1\)。

  • Involution
    An involution a is an element of a group which is its own inverse, \(a^{-1} = a\)。

  • 协作集合(coset)
    Let H be a subgroup of G, A left coset a set of the form
    \(aH = {ah | h \in H}\)
    while a right coset is of the form \(Ha = {ha | h \in H}\).

算术概念

  • 单位根(root of unity)
    一个复数,在正整数次方后的结果是1。

  • n的基本单位根(primitive nth root of unity)
    对于等式\(z^n = 1\),使z的正整数次方等于1的最小整数n,则z为\(n^{th}\) primitive root of unity。
    \(\phi(n)\)的n的基本单位根的个数。

  • 分圆多项式(Cyclotomic polynomial)
    n的基本单位根的求解多项式。
    The polynomial \(\Phi_n(z) = \prod_{k=1}^{\phi(n)}(z - z_k)\), where \(z_1, z_2, \dots, z_{\phi(n)}\) are the primitive \(n^{th}\) roots of unity, is called the \(n^{th}\) cyclotomic polynomial.

  • 代数数(algebraic number)
    代数数是一个复数,并且是一个具有整数系数的一元多项式的根。

  • 超越数(transcendental number)
    与代数数相反,超越数不会是一个具有整数系数的一元多项式的根。
    几乎所有的的实数和复数都是超越数。

逻辑

  • 自反性 - Law of Reflexivity: Everything is equal to itself
    x = x.

  • 对称性 - Law of Symmetry
    If x = y, then y = x.

  • 传递性 - Law of Transitivity
    If x = y and y = z, then x = z

  • 命题(Proposition)

  • 谓词(Predicate)
    a predicate is a statement that may be true or false depending on the values of its variables.
    P(x) is referred to as the predicate, and x the subject of the proposition. Sometimes, P(x) is also called a propositional function

中英文对照

English 中文
addition
subtraction
multiplication
division
negation
reciprocation 倒数
power 次方
root
commutativity 交换性
associativity 结合性
distributivity 分配性
axiom 公理
theorem 定理
lemma 引理
corollary 推论
polynomial 多项式
denominator 分母
divisor 除数,因子
quotient
modulus 模数
coefficient 系数
disjoint 互斥
prime number 质数
composite number 合数
relatively prime 互质
greatest common divisor 最大公约数
least common multiple 最小公倍数

References

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