数学笔记16——定积分的应用1(对数与面积)

在对数上的应用

  解微分方程 L’(x) = 1/x,直接用积分法求解,得到L(x) = lnx;用微积分第二基本定理,可直接写作:

 数学笔记16——定积分的应用1(对数与面积)

  如果我们把这个函数作为对数的定义,就可以很容易地解释对数的性质。

构图

  本例可以得到几个性质:

数学笔记16——定积分的应用1(对数与面积)

  L(1) = 0,在该点的斜率L’(1) = 1;L’(x) = 1/x,在x > 0时L’(x) > 0,说明L(x)在x > 0上是递增的;L’’(x) = - 1/x2 < 0,说明L(x)是凹函数,L’递减,即L的切线斜率递减,现在根据这几个性质作图(可参考数学笔记7——曲线构图):

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  实际上,L(x)将会和y=1相交于点(e, 1),e就是使L(x) = 1时x的值:

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L(ab) = L(a) + L(b)

  我们尝试用微积分表示法解释L(ab) = L(a) + L(b)

  这是对数的基本运算公式之一,ln(ab) = ln(a) + ln(b),如果用微积分作为对数的定义,则:

数学笔记16——定积分的应用1(对数与面积)

  结合定积分的性质:

数学笔记16——定积分的应用1(对数与面积)

  这样问题就转换成了如何证明  数学笔记16——定积分的应用1(对数与面积)

  这个证明需要一个称为变量替换法的技巧,通过该方法巧妙地给出证明。

  可以将积分的上下限看成b和1放缩了a倍:

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  令t = au,无穷小量dt = dau = adu,即du放缩了a倍:

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  下限,当t = a时,L(a) = 1/a = 1/au,故t = a时,u = 1;

  上限,当t = ab时,L(ab) = 1/ab = 1/au,故t = ab时,u = b

  由此知道了转换后的积分上下限:

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  问题得证。

L(1/a) = -L(a)

  这是对数的另一个基本运算公式,ln(1/a) = -ln(a)

  如果L(1/a) = -L(a)成立,那么有

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  令t = u/a,无穷小量dt = du/a,即du放缩了1/a倍:

  下限,当t = 1时,L(1) = 1 = 1/(u/a) = a/u ,故t = 1时,u = a;

  上限,当t = 1/a时,L(1/a) = a = a/u,故t = 1/a时,u = 1

  由此知道了转换后的积分上下限:

数学笔记16——定积分的应用1(对数与面积)

  问题得证。

在几何上的应用

  定积分可用来求得两条曲线间的面积,如下图所示,求g(x)和f(x)在a,b之间围成的面积:

数学笔记16——定积分的应用1(对数与面积)

  我们将待求面积切割成小矩形,矩形的宽度是dx,高度≈f(x) – g(x),所以所求面积:

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  a,b,f(x),g(x)代表了图形的四个边界,知道这些边界就可以确定面积,也就是求得定积分的值。这些条件都是必须的,如果漏掉上限或下限,就不知道左右边界,如果连边界都不知道,如何求出面积?同理不能漏掉f(x)和g(x),它们代表了上下边界。

示例1

  求曲线x = y2和y = x – 2围成的面积。

  很容易求得两条曲线的交点是(4, 2)和(1, -1),图形如下:

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  首先想到利用前面的公式计算面积,但问题在这里似乎没那么简单。当我们纵向切割矩形时,发现矩形并不总是由x = y2和y = x – 2围成;在x < 1时,仅由x = y2围成,如下图所示:

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  上图的绿色虚线将面积分为左右两块。

  首先将x = y2转换为x的函数:

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  右侧的面积实际是由y = x1/2 和y = x -2围成:

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  左侧的面积由 y = x1/2 和 y = -x1/2 围成:

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  现在换一种更简单的解法,我们尝试横向切割矩形:

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  这需要将原函数变为x关于y的函数,相当于将图像逆时针旋转90度:

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  一切都清晰了。

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示例2

  计算下图sinx和cosx前两次相交所围成的面积

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  由此可见,定积分可以计算我们过去无法计算的面积。 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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