割点和桥

图的割点、桥和双连通分支的基本概念: 点连通度与边连通度在一个无向连通图中,如果有一个顶点集合,删除这个顶点集合,以及这个集合中所有顶点相关联的边以后,原图变成多个连通块,就称这个点集为割点集合。 一个图的点连通度的定义为,最小割点集合中的顶点数。类似的,如果有一个边集合,删除这个边集合以后,原图变成多个连通块,就称这个点集为割边集合。一个图的边连通度的定义为,最小割边集合中的边数。 双连通图、割点与桥 如果一个无向连通图的点连通度大于 1,则称该图是点双连通的 (point biconnected),简称双连通或重连通。一个图有割点,当且仅当这个图的点连通度为 1, 则割点集合的唯一元素被称为割点 (cut point),又叫关节点 (articulation point)。如果一个无向连通图的边连通度大于 1,则称该图是边双连通的 (edge biconnected), 简称双连通或重连通。一个图有桥,当且仅当这个图的边连通度为 1,则割边集合的唯一元素被称为桥 (bridge),又叫关节边 (articulation edge)。 可以看出,点双连通与边双连通都可以简称为双连通,它们之间是有着某种联系的,下文中提到的双连通,均既可指点双连通,又可指边双连通。 双连通分支 在图 G 的所有子图 G’ 中,如果 G’ 是双连通的,则称 G’ 为双连通子图。如果一个双连通子图 G’ 它不是任何一个双连通子图的真子集,则 G’ 为极大双连通子图。 双连通分支(biconnected component),或重连通分支,就是图的极大双连通子图。特殊的,点双连通分支又叫做块。 求割点与桥 该算法是 R.Tarjan 发明的。对图深度优先搜索,定义 DFS(u) 为 u 在搜索树(以下简称为树)中被遍历到的次序号。定义 Low(u) 为 u 或 u 的子树中能通过非父子边追溯到的最早的节点,即 DFS 序号最小的节点。 根据定义,则有:Low(u)=Min DFS(u) DFS(v) (u,v) 为后向边 (返祖边) 等价于 DFS(v)<DFS(u) 且 v 不为 u的父亲节点 Low(v) (u,v) 为树枝边 (父子边) 一个顶点 u 是割点,当且仅当满足 (1) 或 (2) (1) u 为树根,且 u 有多于一个子树。(2) u 不为树根,且满足存在 (u,v) 为树枝边 (或称父子边,即 u 为 v 在搜索树中的父亲),使得 DFS(u)<=Low(v)。 一条无向边 (u,v) 是桥,当且仅当 (u,v) 为树枝边,且满足 DFS(u)<Low(v)。 求双连通分支 下面要分开讨论点双连通分支与边双连通分支的求法。 对于点双连通分支,实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈,存储当前双连通分支,在搜索图时,每找到一条树枝边或后向边 (非横叉边), 就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足 DFS(u)<=Low(v),说明 u 是一个割点,同时把边从栈顶一个个取出,直到遇到了边 (u,v),取出的这些边与其关联的点,组成一个点双连通分支。 割点可以属于多个点双连通分支,其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。对于边双连通分支,求法更为简单。只需在求出所有的桥以后,把桥边删除,原图变成了多个连通块, 则每个连通块就是一个边双连通分支。桥不属于任何一个边双连通分支,其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。 构造双连通图 一个有桥的连通图,如何把它通过加边变成边双连通图?方法为首先求出所有的桥,然后删除这些桥边,剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点, 再把桥边加回来,最后的这个图一定是一棵树,边连通度为 1。统计出树中度为 1 的节点的个数,即为叶节点的个数,记为 leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2 条边,就能使树达到边二连通, 所以至少添加的边数就是 (leaf+1)/2。具体方法为,首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边,这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起, 因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点,这样一对一对找完,恰好是 (leaf+1)/2 次,把所有点收缩到了一起。   割点和桥
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005;
int low[N],dfn[N],num;
bool iscut[N];
vector<int > vec[N];
int n;
void dfs(int u,int fa)                      ///fa为u的父节点
{
    int child=0;                            ///子节点的数目
    low[u]=dfn[u]=++num;
    int len=vec[u].size();
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        int v=vec[u][i];
        if(!dfn[v]){
            child++;
            dfs(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>=dfn[u]&&u!=1)iscut[u]=1;     ///标记割点
        }
        else if(dfn[v]<dfn[u]&&v!=fa)low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(u==1&&child>=2)
        iscut[1]=1;
}
void init()
{
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    num=0;
    memset(iscut,0,sizeof(iscut));
}
int main()
{
    ///建图
    int ans=0;
    dfs(1,-1);                              ///起点为1
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=iscut[i];
    return 0;
}
模板

注意:判断割点的条件为low[u]>=dfn[u],判断桥的条件为low[u]>dfn[u]

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