题目

1818 绝对差值和

给你两个正整数数组 nums1 和 nums2 ，数组的长度都是 n 。

数组 nums1 和 nums2 的 绝对差值和 定义为所有 |nums1[i] - nums2[i]|（0 <= i < n）的 总和（下标从 0 开始）。

你可以选用 nums1 中的 任意一个 元素来替换 nums1 中的 至多 一个元素，以 最小化 绝对差值和。

在替换数组 nums1 中最多一个元素 之后 ，返回最小绝对差值和。因为答案可能很大，所以需要对 109 + 7 取余 后返回。

|x| 定义为：

如果 x >= 0 ，值为 x ，或者
如果 x <= 0 ，值为 -x

示例 1：

输入：nums1 = [1,7,5], nums2 = [2,3,5]
输出：3
解释：有两种可能的最优方案：

• 将第二个元素替换为第一个元素：[1,7,5] => [1,1,5] ，或者
• 将第二个元素替换为第三个元素：[1,7,5] => [1,5,5]
  两种方案的绝对差值和都是 |1-2| + (|1-3| 或者 |5-3|) + |5-5| = 3
  示例 2：

输入：nums1 = [2,4,6,8,10], nums2 = [2,4,6,8,10]
输出：0
解释：nums1 和 nums2 相等，所以不用替换元素。绝对差值和为 0
示例 3：

输入：nums1 = [1,10,4,4,2,7], nums2 = [9,3,5,1,7,4]
输出：20
解释：将第一个元素替换为第二个元素：[1,10,4,4,2,7] => [10,10,4,4,2,7]
绝对差值和为 |10-9| + |10-3| + |4-5| + |4-1| + |2-7| + |7-4| = 20

提示：

n == nums1.length
n == nums2.length
1 <= n <= 105
1 <= nums1[i], nums2[i] <= 105

思路

鉴于此题我们只能置换一个位置的数字，所以我们需要知道置换哪个位置的数字，可以使得数组中各值的绝对差值和最小。

我们可以使用二分查找来寻找替换的位置，并将替换后的绝对差做和，求出最小和。

在python中，我们可使用bisect来完成二分查找。

代码及注释

import bisect
class Solution:
    def minAbsoluteSumDiff(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        n = len(nums1)
        nums1_sorted = sorted(nums1)  #对nums1排序，后边bisect会用到
        _MOD = 10 ** 9 + 7
        dif = [0] * n  #辅助空数组，用来找最小差值的下标
        for i in range(n):
            p = bisect_left(nums1_sorted, nums2[i]) #将num2[i]插入排好序的sorted_nums1中
            if p == 0:
                dif[i] = nums1_sorted[p] - nums2[i] 
            elif p == n:
                dif[i] = nums2[i] - nums1_sorted[p-1]
            else: # 这是核心分支，上面两个分支处理边界
                dif[i] = min(nums1_sorted[p] - nums2[i], nums2[i] - nums1_sorted[p-1])
        bonus = [0] * n # 寻找最小差值的辅助数组
        bef_sum = 0
        for i in range(n):
            bef = abs(nums1[i] - nums2[i])
            bef_sum += bef
            bonus[i] = dif[i] - bef #需要找到最小差值的数字
        return (bef_sum + min(bonus)) % _MOD

时间复杂度：O(nlogn)

空间复杂度:O(2n)

补充：python的bisect模块

bisect是python自带的二分查找库，十分好用。

使用bisect的条件有两个：

1. 适用于二分查找
2. 此数组为已排序数组

常用的几个函数如下：

import bisect

test_list = [1,2,5,6,8,9,12]

position = bisect.bisect(test_list, 8) # 返回插入元素的下标，如果插入已存在的元素，默认返回元素的右侧下标
print(position)

position_left = bisect.bisect_left(test_list, 7) # 返回插入元素的下标，如果插入已存在的元素，默认返回元素的左侧下标
print(position_left)

position_right = bisect.bisect_right(test_list, 11) # 同bisect函数
print(position_right)

bisect.insort(test_list, 10) # 返回插入目标元素后的有序列表
print(test_list)

root@home:/usr/local/codes/python# python3 bisect_test.py
5
4
6
[1, 2, 5, 6, 8, 9, 10, 12]