quiz 1

1. For all m,n ∈ ℕ>0 and all a,b ∈ ℤ: if a = b (mod m) and a = b (mod n) then a = b (mod mn)

answer: False

如17和5关于2同余1，关于4同余1，但是2*4=8，17和5不关于8同余

quiz 2

补充：空集与任何集合的笛卡尔积仍是空集

 

answer: b d

本题即求属于前者闭包且不属于后者闭包的，前者闭包包含{c,u,p,cc,uu,pp,cu...}，后者闭包包含{m,o,p,mm,mp...}

quiz 3

answer: d

本题的易错点是一定要为正整数

 

answer：a，e

function的定义有两点：

（1）binary

（2）在S到T的对应中，每一个s有且仅有一个t与之对应

f中有三个元素，故错误

若N={0,1,2,3}, a中等号over N相当于求N*N的笛卡尔积, {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3)}，故而答案唯一

b中，(1,1), (1,2), (1,3)都有可能所以错误，c同理

 

answer: a

注意异或的定义：(A\B) U (B\A)

quiz 4

补充：A\B=A与B的补集求并集

1. for all functions f X→Y and g Y→Z, if f and g are both surjective then gof is surjective

answer: True

gof为复合函数，可表示为g(f(x)), surjective为满射，证明满射即证明对任意z属于Z，存在x属于X使得g(f(x))=z

因为f, g均为满射，f(x)=y, g(y)=z, 所以g(f(x))=g(y)=z

2. for all functions f X→Y and g Y→Z, if f and g are both injective then gof is injective

answer: True

对于单射而言，对于任意a, b，if g(f(a))=g(f(b)), 则a=b是唯一的  (即output相同则input一定相同)

因为g单射故而f(a)=f(b), 因为f单射故而a=b

3. Consider the relation R = {(m,n)∈Z*Z : m^2=n^2(mod 5)}

a. Reflexivity

b. Antireflexivity

c. Symmetry

d. Antisymmetry

e. Transitivity

answer: ac

可写成5|m^2-n^2，即m^2-n^2=5k

ps: 还有一个题也是判断性质的，注意考虑为空的情况