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课程第6章介绍从多张影像重建同名点三维空间坐标的方法，详细讲解线性系统的秩与现实世界的对应关系。

1. 从双视图到多视图

双视图对一个空间点只能提供四个测量值（左右影像的 \(x, y\)），三视图能够提供六个测量值，多视图能够提供更多的测量值，对空间点的三维坐标有更大的约束，所以能够得到更精确的结果。

一般而言，实际使用的大多是三视图重建，而不会选择使用四视图、五视图。。。这是一个效率上的问题。

2. 多视图的原像与余像

同名点或者同名线在多张影像上的原像（Preimage）是其在各影像上原像的交集。

\[ preimage(\mathbf{x_1}, \dots, \mathbf{x_m}) = preimage(\mathbf{x_1}) \cap \dots \cap preimage(\mathbf{x_n}) \]

\[ preimage(\mathscr{l_1}, \dots, \mathscr{l_m}) = preimage(\mathscr{l_1}) \cap \dots \cap preimage(\mathscr{l_m}) \]

双视图中点与线的原像（图片来源于 TUM 课程 Slides）：

考虑在多视图中点与线的投影关系，以得到在多视图中的约束关系。

假设有一空间点 \(\mathbf{X}\) 在时刻 \(t\) 的影像上的坐标为 \(\mathbf{x}(t)\)，对于时刻 \(t\) 能够列出以下方程：

\[ \lambda(t)\mathbf{x}(t) = K(t) \Pi_0g(t)\mathbf{X} \]

对于空间中一直线 \(L\)，该直线可以用集合表示：

\[ L = \left\{ \mathbf{X} \left.\right| \mathbf{X} = \mathbf{X_0} + \mu \mathbf{V}, \mu \in \mathbb{R} \right\} \subset \mathbb{R}^4 \]

其中 $ \mathbf{X_0} = {\begin{bmatrix} X_0, Y_0, Z_0, 1 \end{bmatrix}}^T \in \mathbb{R}^4 $ 是基础点 \(p_0\)，表示线所在的位置；$ \mathbf{V} = {\begin{bmatrix} V_1, V_2, V_3, 0 \end{bmatrix}}^T \in \mathbb{R}^4 $ 表示线的方向。

对于直线 \(L\) 在时刻 \(t\) 的影像上的坐标可以用 \(\mathscr{l}(t)\) 表示，\(\mathscr{l}(t)\) 向量与直线在 \(t\) 时刻影像上的像中的任意点 \(\mathbb{x}(t)\) 垂直：

\[ \mathscr{l}(t)^T \mathbf{x}(t) =\mathscr{l}(t)^TK(t)\Pi_0g(t)\mathbf{X} = 0 \]

整理一下，将时刻 \(t\) 离散化，只有时刻 \(t_1, \dots, t_m\) 对应 \(m\) 张影像，令 \(\Pi_i = K(t_i)\Pi_0g(t_i)\)，结合线 \(L\) 的集合表达（\(\mathbf{X_0}\) 与 \(\mathbf{V}\) 线性无关）：

\[ \mathscr{l}_i^T\Pi_i\mathbf{X_0} = \mathscr{l}_i^T\Pi_i\mathbf{V} = 0 \]

3. 原像与秩约束

3.1 点

\(\mathbf{X}\) 在 \(m\) 张影像上的像平面坐标系坐标为 \(\mathbf{x_1}, \dots, \mathbf{x_m}\)，每一张影像都能列出

\[ \lambda_i\mathbf{x_i} = \Pi_i\mathbf{X} \]

整合成一个式子

\[ \mathscr{I} \vec{\lambda} \equiv {\begin{bmatrix} \mathbf{x_1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \mathbf{x_2} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \mathbf{x_m} \end{bmatrix}} {\begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_m \end{bmatrix}} = {\begin{bmatrix} \Pi_1 \\ \Pi_2 \\ \vdots \\ \Pi_m \end{bmatrix}} \mathbf{X} \equiv \Pi\mathbf{X} \]

即

\[ \mathscr{I}\vec{\lambda} = \Pi\mathbf{X} \]

\[ \mathscr{I} \in \mathbb{R}^{3m \times m}, \quad \vec\lambda \in \mathbb{R}^m, \quad \Pi \in \mathbb{R}^{3m \times 4} \]

这种形式还是不可以，因为不是 \(Ax = 0\) 的形式，不能用线性代数求解，引入新的矩阵 \(N_p\) 与向量 \(u\)：

\[ N_p \equiv \begin{bmatrix} \Pi, \mathscr{I} \end{bmatrix} = {\begin{bmatrix}\ \Pi_1 & \mathbf{x_1} & 0 & \dots & 0 \\ \Pi_2 & 0 & \mathbf{x_2} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \Pi_m & 0 & 0 & \dots & \mathbf{x_m} \end{bmatrix}} \in \mathbb{R}^{3m \times (m+4)} \]

\[ u \equiv \begin{bmatrix} \mathbf{X} \\ -\vec\lambda \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{m+4} \]

于是式子简化为

\[ N_p u = 0 \]

其实还可以继续简化（-_-||），把 \(\vec\lambda\) 去掉。引入一个能够去除 \(\mathscr{I}\) 的矩阵 \(\mathscr{I}^{\bot}\)：

\[ \mathscr{I}^{\bot} = \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x_1}} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \hat{\mathbf{x_2}} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \hat{\mathbf{x_m}} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3m \times 3m} \]

简化后

\[ \mathscr{I}^{\bot}\Pi\mathbf{X} = 0 \]

不能简化了。。。

新定义一个矩阵 \(W_p\) 方便讨论：

\[ W_p \equiv \mathscr{I}^{\bot}\Pi = \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x_1}}\Pi_1 \\ \hat{\mathbf{x_2}}\Pi_2 \\ \vdots \\ \hat{\mathbf{x_m}}\Pi_m \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3m \times 4} \]

影像的数量 \(m \ge 2\)，所以 \(W_p\) 的满秩是4，而 \(W_p\) 有一维 null space 是 \(\mathbf{X}\) ，于是得到 \(W_p\) 的秩的限制条件：

\[ rank(W_p) \le 3 \]

整理一下：

\[ rank(W_p) = rank(N_p) - m \le 3 \]

3.2 线

空间中直线 \(L\) 在 \(m\) 张影像中有 \(m\) 个像（或者说是余像，线在影像中的像就是用余像表达的嘛） \(\mathscr{l}_i, i = 1, \dots, m\)，于是对于用基底 \(\mathbf{X_0}\) 和方向 \(\mathbf{V}\) 表达的直线有

\[ \mathscr{l}_i^T \Pi_i \mathbf{X_0} = \mathscr{l}_i^T \Pi_i \mathbf{V} = 0 \]

合并有

\[ W_l \equiv \begin{bmatrix} \mathscr{l}_1^T\Pi_1 \\ \mathscr{l}_2^T\Pi_2 \\ \vdots \\ \mathscr{l}_m^T\Pi_m \end{bmatrix} \in \mathbf{R}^{m \times 4} \]

\(W_l\) 的 null space 维度为2，所以当 \(m = 2\) 时，满秩为2，与列满秩4相差2，刚好能够求解得到两个 null space，解出的直线唯一。

要解出一条直线，需要

\[ rank(W_l) \le 2 \]

4. 几何理解

4.1 点

对于空间的一个点 \(\mathbf{X}\)，列出线性系统

\[ W_p \mathbf{X} = 0, \quad W_p = \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x_1}}\Pi_1 \\ \hat{\mathbf{x_2}}\Pi_2 \\ \vdots \\ \hat{\mathbf{x_m}}\Pi_m \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3m \times 4} \]

其中 $ \hat{\mathbf{x_i}} $ 的秩为2，\(W_p\) 中独立的行最多有 \(2m\) 个，每一个独立的行都定义了一个平面，空间点 \(\mathbf{X}\) 就是这 \(2m\) 个平面的交点（图片来源于 TUM 课程 Slides）：

当 \(m=1\) 时，\(W_p\) 的秩为2，null space 的维度为2，空间点落在一条直线上，无法求解，可以想象一下单片的情况。

当 \(m=2\) 时，\(W_p\) 满秩为4，此时无解，但是如果 \(2m = 4\) 个平面中有两个平面重合，则 \(W_p\) 的秩为3，能够唯一解出一个 \(\mathbf{X}\)。

当 \(m \ge 3\) 时，\(W_p\) 满秩为4，此时要求 \(W_p\) 的秩为3，能够唯一解出 \(\mathbf{X}\)。

4.2 线

对于空间中的一条直线 \(L\) 列出线性系统：

\[ W_l = \begin{bmatrix} \mathscr{l}_1^T\Pi_1 \\ \mathscr{l}_2^T\Pi_2 \\ \vdots \\ \mathscr{l}_m^T\Pi_m \end{bmatrix} \in \mathbf{R}^{m \times 4} \]

当 \(m=1\) 时，\(W_l\) 的秩为1，null space 的维度为3，直线 \(L\) 落在一个平面上，无法确定。

当 \(m=2\) 时，\(W_l\) 满秩为2，null space 的维度为2，直线 \(L\) 可以被唯一确定，但这种确定没有任何意义，因为两个平面只要不是平行关系都能唯一确定一条交线。

当 \(m=3\) 时，\(W_l\) 满秩为3，null space 的维度为1，只能确定一个点了，所以需要 \(W_l\) 不满秩，其秩为2，能够唯一确定一条交线。

当 \(m \ge 4\)，\(W_l\) 满秩为4，null space 的维度为0，无解，对 \(W_l\) 秩的要求同 \(m=3\) 的情形。

5. 多视图重建矩阵

现在考虑前面得到的矩阵的秩与普通极线约束之间的关系。

对于空间中的一个点，得到了矩阵 \(W_p\)：

\[ W_p \equiv \mathscr{I}^{\bot}\Pi = \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x_1}}\Pi_1 \\ \hat{\mathbf{x_2}}\Pi_2 \\ \vdots \\ \hat{\mathbf{x_m}}\Pi_m \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3m \times 4} \]

正常情况（\(n\ge2\)）下，\(W_p\) 满秩是4，用一个满秩矩阵 \(D_p \in \mathbb{R}^{4 \times 5}\) 右乘它，结果的秩与 \(W_p\) 的秩相同：

\[ W_pD_p = \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x_1}}\Pi_1 \\ \hat{\mathbf{x_2}}\Pi_2 \\ \vdots \\ \hat{\mathbf{x_m}}\Pi_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x_1}} & \mathbf{x_1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x_1}}\hat{\mathbf{x_1}} & 0 & 0 \\ \hat{\mathbf{x_2}}R_2\hat{\mathbf{x_1}} & \hat{\mathbf{x_2}}R_2\mathbf{x_1} & \hat{\mathbf{x_2}}T_2 \\ \hat{\mathbf{x_3}}R_3\hat{\mathbf{x_1}} & \hat{\mathbf{x_3}}R_3\mathbf{x_1} & \hat{\mathbf{x_3}}T_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \hat{\mathbf{x_m}}R_m\hat{\mathbf{x_1}} & \hat{\mathbf{x_m}}R_m\mathbf{x_1} & \hat{\mathbf{x_m}}T_m \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3m \times 5} \]

\(W_p\) 的秩的限制条件为 \(rank(W_p) \le 3\)，于是有矩阵

\[ M_p \equiv \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x_2}}R_2\mathbf{x_1} & \hat{\mathbf{x_2}}T_2 \\ \hat{\mathbf{x_3}}R_3\mathbf{x_1} & \hat{\mathbf{x_3}}T_3 \\ \vdots & \vdots \\ \hat{\mathbf{x_m}}R_m\mathbf{x_1} & \hat{\mathbf{x_m}}T_m \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3(m-1) \times 2 } \]

的秩 \(rank(M_p) \le 1\)。

\(rank(M_p) \le 1\) 的意思就是 \(M_p\) 的两列线性相关，于是：

\[ \lambda \hat{\mathbf{x_i}}R_i\mathbf{x_1} + \hat{\mathbf{x_i}}T_i = 0, \quad i = 1, 2, \dots, m\]

\[ M_p \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} = 0 \]

6. 与极线约束的关系

其实上式中的 \(\lambda = \lambda_1\)，是空间点在第一张影像中的景深。

上式即极线约束，证明如下：

\(\hat{\mathbf{x_i}}R_i\mathbf{x_1}\) 与 \(\hat{\mathbf{x_i}}T_i\) 线性相关，即 \(\mathbf{x_i} \times R_i\mathbf{x_1}\) 与 \(\mathbf{x_i}\times T_i\) 的方向一致，即可得出结论“\(\mathbf{x_i}, T_i, R_i\mathbf{x_1}\) 三条向量共面”，这就是极线约束的几何意义。

\[ \mathbf{x_i}^T(T_i \times R_i \mathbf{x_1}) = \mathbf{x_i}^T\hat{T_i}R_i\mathbf{x_1} = 0 \]

对于任意非零向量 \(a_i, b_i \in \mathbb{R}^3, i = 1, \dots, n\)，矩阵 \[ \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3n \times}\] 非满秩（rank-deficient），当且仅当 \(a_i b_j^T - b_i a_j^T =0, \forall i, j = 1, \dots, n\)。

利用这个性质，对矩阵 \(M_p\) 可以写出

\[ \hat{\mathbf{x_i}}R_i\mathbf{x_1}(\hat{\mathbf{x_j}}T_j)^T - \hat{\mathbf{x_i}}T_i(\hat{\mathbf{x_j}}R_j\mathbf{x_1})^T = 0 \]

整理一下，得到三视图的极线约束（trilinear constraint）：

\[ \hat{\mathbf{x_i}}(T_i\mathbf{x_1}^TR_j^T - R_i\mathbf{x_1}T_j^T)\hat{\mathbf{x_j}} = 0 \]

利用在双试图重建中的方法（克罗内克积）可以一步求得两张影像 \(i, j\) 相对于第一张影像的位姿，一个点能够提供9个方程，但其中仅有4个线性无关的方程（\(\hat{\mathbf{x_i}}\) 的秩为2）。

7. 多视图重建的求解算法

这是一个迭代的求解方法。

由 \(M_p\) 两个列向量线性无关得到了这个式子：

\[ M_p \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} = 0 \]

除以一个 \(\lambda_1\)，

\[ M_p \begin{bmatrix} 1 \\ \alpha \end{bmatrix} = 0, \quad \alpha = {1 \over \lambda_1} \]

采集了空间中 \(n\) 个点的影像，对于第 \(j\) 个点，能够列出下面的方程：

\[ \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x_2^j}}R_2\mathbf{x_1} \\ \hat{\mathbf{x_3^j}}R_3\mathbf{x_1} \\ \vdots \\ \hat{\mathbf{x_m^j}}R_m\mathbf{x_1} \end{bmatrix} + \alpha^j \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x_2^j}}T_2 \\ \hat{\mathbf{x_3^j}}T_3 \\ \vdots \\ \hat{\mathbf{x_m^j}}T_m \end{bmatrix} = 0 \]

对于第 \(i\) 张影像以及所有空间点：

\[ P_i \begin{bmatrix} R_i^s \\ T_i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{x_1^1} \otimes \hat{\mathbf{x_i^1}} & \alpha^1\hat{\mathbf{x_i^1}} \\ \mathbf{x_1^2} \otimes \hat{\mathbf{x_i^2}} & \alpha^2\hat{\mathbf{x_i^2}} \\ \vdots & \vdots \\ \mathbf{x_1^n} \otimes \hat{\mathbf{x_i^n}} & \alpha^n\hat{\mathbf{x_i^n}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_i^s \\ T_i \end{bmatrix} \]

$ P_i \in \mathbb{R}^{3n \times 12} $ 当点 \(n \ge 6\) 时，其满秩为12，其秩为11，则 null space 有唯一解。

然而解上面的 \(R_i, T_i\) 需要事先知道各点的景深 \(\alpha^1, \dots, \alpha^n\)，对于 RGBD 相机和双目相机，这完全没有问题，可以直接获取。

但是对于普通单目相机，这个问题就是一个迭代的过程，在景深和位姿之间迭代。

\[ \alpha^j = - {\Sigma_{i=2}^m(\hat{\mathbf{x_i^j}} T_i)^T \hat{\mathbf{x_i^j}}R_i\mathbf{x_1^j} \over \Sigma_{i=2}^m\| \hat{\mathbf{x_i^j}} T_i \|^2}, \quad j = 1, \dots, n \]

8. 线的多视图重建

与点的方式类似，就不赘述了。