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一、Linear Discriminant Analysis(LDA)
1.1 Rationale
线性判别分析(LDA)是一种监督学习的分类和降维的方法，但更多是被用来降维。LDA的原理是让投影后同一类中数据的投影点之间尽可能地靠近，而类不同类别中数据的类别中心之间的距离尽可能远，用一句话概括就是“投影后类内方差最小，类间方差最大”。
假设我们的数据集D={(x1,y1),(x2,y2),...,((xm,ym))}，其中任意样本xixi为n维向量，yi\(\in\){C1,C2,...,Ck}。我们定义Nj(j=1,2...k)为第j类样本的个数，Xj(j=1,2...k)为第j类样本的集合，而μj(j=1,2...k)为第j类样本的均值向量，定义Σj(j=1,2...k)为第j类样本的协方差矩阵。由于我们是多类向低维投影，则此时投影到的低维空间就不是一条直线，而是一个超平面了。假设我们投影到的低维空间的维度为d，对应的基向量为(w1,w2,...wd)，基向量组成的矩阵为W, 它是一个n×d的矩阵。此时优化的目标变成
\[
\frac{W^TS_bW}{W^TS_wW}
\]
其中\(S_b=\sum_{j=1}^{k}N_{j}(\mu_{j}-\mu)(\mu_j-\mu)^T\)，\(\mu\)为所有样本均值向量。\(S_{\mathcal{w}}=\sum_{j=1}^{k}\sum_{x \in X_{j}}(x-\mu_j)(x-\mu_j)^T\)。但是有一个问题，就是\(W^TS_bW\)和\(W^TS_{\mathcal{w}}W\)都是矩阵，不是标量，无法作为一个标量函数来优化。可以用如下的替代优化目标
\[
\begin{aligned}
\mathop{\arg\max_{\mathrm{W}}}\ \| \mathrm{J}(\mathrm{W})\|&=\frac{\prod_{diag}W^TS_bW}{\prod_{diag}W^TS_{\mathcal{w}}W}\\
& =\prod_{i=1}^{d}\frac{\mathcal{w}_i^TS_b\mathcal{w}_i}{\mathcal{w}_i^TS_\mathcal{w}\mathcal{w}_i}
\end{aligned}
\]
其中\(\prod_{diag}A\)为A的主对角线元素的乘积。利用广义瑞利商可知，最大值是\(S_{w}^{-1}S_b\)的最大特征值，而最大的d个值的乘积就是\(S_{w}^{-1}S_b\)最大的d个特征值的乘积，而W即为\(S_{w}^{-1}S_b\)最大的d个特征值对应的d个特征向量张成的矩阵，这样就得到用于降维的转换矩阵W。这里有一点需要注意的是W降维的大小不能超过k-1即数据类别数-1。因为矩阵的秩小于等于各个相加得到它的矩阵的秩的和，而累加得到\(S_{b}\)的\((\mu_{j}-\mu)(\mu_{j}-\mu)^T\)的秩为1，所以\(S_{b}\)的秩不超过k，又因为第k个\(\mu_{k}-\mu\)可由前k-1个\(\mu_{j}-\mu\)线性表示，因此\(S_b\)秩最大为k-1，则不为0的特征值最多有k-1个。
1.2 LDA vs PCA
- Commonalities：
- 两者均可以对数据进行降维。
- 两者在降维时均使用了矩阵特征分解的思想。
- 两者都假设数据符合高斯分布。
- Differences：
- LDA是有监督的降维方法，而PCA是无监督的降维方法
- LDA降维最多降到类别数==k-1==的维数，而PCA没有这个限制。
- LDA除了可以用于降维，还可以用于分类。
- LDA选择分类性能最好的投影方向，而PCA选择样本点投影具有最大方差的方向。
二、Neighborhood Component Analysis(NCA)
2.1 Rationale
近邻成分分析（NCA）是由Jacob Goldberger和Geoff Hinton等大佬们在2005年发表于NIPS上的一项工作1，属于度量学习（Metric Learning）和降维（Dimension Reduction）领域。NCA的原理是以马氏距离为距离度量的KNN为基础，通过不断优化KNN分类的准确率来学习转换矩阵，最终得到对原数据进行降维的转换矩阵。
接下来对NCA学习转换矩阵的数学推导，设\(x_i(1 \le i \le n)\)表示原数据的列向量表示，A是d*D的转换矩阵，其中D为原数据的维度，而d为降维后的维度，定义\(p_{ij}\)为==映射空间中欧氏距离==(相当于原空间中的马氏距离)的softmax概率值
\[
p_{ij}=\frac{exp(- \|Ax_{i}-Ax_{j}\|^{2})}{\sum_{k \ne i}exp(-\|Ax_{i}-A_{k}\|)}，\ p_{ii}=0
\]
设\(p_{i}\)为i能够被正确分类的概率，\(C_{i}\)表示与i属于同一类的样本的集合，那么
\[
p_{i}=\sum_{j \in C_{i}}p_{ij}
\]
优化目标就是最大化能被正确分类的点的数目
\[
f(A)=\sum_{i}\sum_{j \in C_{i}}p_{ij}=\sum_{i}p_{i}
\]
f(A)对A求偏导，定义\(x_{ij}=x_{i}-x_{j}\)
\[
\begin{aligned}
f^{'}(A)=\frac{\partial f}{\partial A}&=-2A\sum_{i}\sum_{j \in C_{i}}p_{ij}(x_{ij}x_{ij}^{T}-\sum_{k}p_{ik}x_{ik}x_{ik}^T)\\
&=2A\sum_{i}(p_{i}\sum_{k}p_{ik}x_{ik}x_{ik}^T-\sum_{j \in C_{i}}p_{ij}x_{ij}x_{ij}^T)
\end{aligned}
\]
有了目标函数对A梯度之后就可以设定迭代次数和A的初始值\(A_{0}\)，利用梯度下降法不断优化目标函数上限(当然也可以使用其它的优化方法比如拟牛顿法)，设学习率为\(\alpha\)，\(A_{0}\)通过下面公式迭代
\[
A_{0}=A_{0}+\alpha f^{'}(A_{0})
\]
2.2 NCA vs PCA
- commonalities:
- 都可以用来降维
- differences:
- NCA除了降维还是一种度量学习的方法
- NCA对数据分布没有假设，而PCA要求数据服从高斯分布
- NCA基于KNN选择分类性能最好的投影方向，而PCA选择样本点投影具有最大方差的方向