[问题2014S11]  解答

我们先引用一下复旦高代书 P310 的习题 6, 其证明可参考白皮书 P257 的例 8.33：

习题6  设实二次型 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=y_1^2+\cdots+y_k^2-y_{k+1}^2-\cdots-y_{k+s}^2\), 其中 \(y_i=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n\,(i=1,2,\cdots,k+s)\), 求证: \(f\) 的正惯性指数 \(p\leq k\), 负惯性指数 \(q\leq s\).

把上述结论转化为实对称阵的语言, 马上可以得到如下引理：

引理  设 \(A\) 为 \(m\) 阶实对称阵, \(C\) 为 \(m\times n\) 阶实矩阵, 则 \(p(A)\geq p(C'AC)\), \(q(A)\geq q(C'AC)\), 其中 \(p(\,\cdot\,),q(\,\cdot\,)\) 分别表示正负惯性指数.

回到本题的证明.

考虑 \(2n\) 阶实对称阵 \(\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}\) 以及 \(2n\times n\) 阶实矩阵 \(\begin{bmatrix} I_n \\ I_n \end{bmatrix}\), 则有 \[\begin{bmatrix} I_n & I_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_n \\ I_n \end{bmatrix}=A+B.\] 由上述引理即得 \[p(A)+p(B)=p(\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix})\geq p(A+B);\] \[q(A)+q(B)=q(\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix})\geq q(A+B),\] 故结论得证.  \(\Box\)