概率论 - 箱中取球引出的一个问题

一、前言

在考研数学复习时，《考研数学复习全书 - 数学一 · 李永乐 王式安...》概率论部分有一题出现了理解上的困难，查资料后有些收获，整理如下：

a 书中结论并不正确（确定）

b 要理解条件概率

c 要知道全概率公式进行概率分解的时候的隐藏的前提条件

二、条件概率

定义：设A、B是两个事件，且 \(P(A)>0\) ，称

\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{A}\)

为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率。

注：这里是直接定义，因此不需要证明为什么是这样（因为有人问如何证明是这种形式）。

由条件概率，直接可得概率的乘法公式

\(P(AB)=P(A)P(B|A)\)
\(P(AB)=P(B)P(A|B)\)

注：这里 \(P(A)>0\)，\(P(B)>0\) 是条件概率定义的要求。

推广：

\(P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB)\) （三个事件）

注：之前之所以做错就是因为这里公式推导错了。

三、题目原型

例九 假设有两箱同种零件，第一箱内装 \(n\) 件一等品，第二箱内装 \(m\) 件，其中仅有一件一等品（ \(m\) 、\(n\) 均大于2）。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱箱后随机取出两个零件（不放回），试求：

（1）先取出的零件是一等品的概率 \(p\)；

（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率 \(q\)。

解：

记A为挑出的是第一箱，记为第i次取出的零件是一等品。

（1）第一问没有问题。

\(p=P(B_1)=P(B_1A)+P(B_1\overline{A})=P(A)P(B_1|A)+P(\overline{A})(PB_1|\overline{A})\)

即

\(p=\frac{1}{2}\times1+\frac{1}{2}\times\frac{1}{m}=\frac{m+1}{2m}\)

（2）第二问出现了问题。

书中解答：

设先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品，这个事件为C。

\(q=P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|\overline{A})P(\overline{A})\)

也即

\(q=1\times \frac{1}{2}+0\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

这个答案不对，原因后文分析。正确解答如下：

\(q=P(B_2|B_1)=\frac{P(B_1B_2)}{P(B_1)}\)

其中，

\(P(B_1B_2)=P(B_1B_2A)+P(B_1B_2\overline{A})\)

由于取第二个箱子时，不可能成立，因此

\(P(B_1B_2\overline{A})=0\)

\(P(B_1B_2A)=P(AB_1)P(B_2|AB_1)=P(A)P(B_1|A)P(B_2|AB_1)\)
\(=\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}\)

故 \(q=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{m+1}{2m}}=\frac{m}{m+1}\)。

四、错误分析

对等式
\(p=P(B_1)=P(B_1A)+P(B_1\overline{A})=P(A)P(B_1|A)+P(\overline{A})(PB_1|\overline{A})\)。

由定义知，\(P(C)\) 本身是一个条件概率，且 \(P(C)=P(B_2|B_1)\) 。

将这个式子代入等式可得
\(P(B_2|B_1)=P(C|A)P(A)+P(C|\overline{A})P(\overline{A})\)

这个等式在 \(C\) 本身为事件的时候成立（事件即样本空间的子集），在这里 \(C\) 为有条件的事件，就不一定成立了。

下面来找问题。

见参考1。（这里不作进一步举例）

回顾全概率公式定理：

设试验E的样本空间为 \(S\)，\(A\) 为 \(E\) 的事件，\(B_1\)，\(B_2...B_n\) 为 \(S\) 的一个划分，且\(P(B_i)>0\)，则

\(P(A)=P(A|B1)+P(A|B2)+...+P(A|Bn)\)

定理要求，\(A\) 和 \(B_i\) 属于同一样本空间，而答案中的 \(C\) 为有条件的事件，是A所在样本空间的子集，故全概率分解错误。

五、相似的例子

可以参考B站李永乐老师的概率相关的一个视频。

参考：

1. https://www.zhihu.com/question/50081230?sort=created （张翼腾的答案）