原文:【原创】开源Math.NET基础数学类库使用(16)C#计算矩阵秩
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上个月对Math.NET的基本使用进行了介绍，主要内容有矩阵，向量的相关操作，解析数据格式，数值积分，数据统计，相关函数，求解线性方程组以及随机数发生器的相关内容。这个月接着深入发掘Math.NET的各种功能，并对源代码进行分析，使得大家可以尽可能的使用Math.NET在.NET平台下轻易的开发数学计算相关的，或者可以将其中的源码快速移植到自己的系统中去(有时候并不需要所有的功能，只需要其中的部分功能代码)，今天要介绍的是Math.NET中利用C#计算矩阵秩的功能。
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1.什么是矩阵秩
矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分. 其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。矩阵秩的计算最容易的方式是高斯消去法，这里引用*的内容：
计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯型矩阵，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，因此A的行梯阵形式有同A一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。例如考虑4 × 4矩阵：
我们看到第2纵列是第1纵列的两倍，而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的，所以A的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行梯阵形式:
它有两个非零的横行。在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去（LU分解）可能是不稳定的，应当使用秩启示（revealing）分解。一个有效的替代者是奇异值分解（SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自SVD的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。
矩阵秩在线性代数中的应用还是很广的，如计算线性方程组的解的数目等，下面就看一下Math.NET中对该过程的计算实现以及如何调用的例子。
2.Math.NET矩阵秩计算的实现
Math.NET在对矩阵秩的计算过程中，和行列式的实现方式非常相似，也是把其作为矩阵计算的一个小部分功能，作为属性添加在各个矩阵分解算法的抽象和实现类中，看一下其中一个Svd分解算法抽象，由于计算简单，已经直接实现了秩的计算，继承类可以直接使用，就够了，其他的使用下面也和行列式类似。
internal abstract class Svd : Svd<float>
{
protected Svd(Vector<float> s, Matrix<float> u, Matrix<float> vt, bool vectorsComputed)
: base(s, u, vt, vectorsComputed) { } /// <summary>计算矩阵秩</summary>
/// <value>The number of non-negligible singular values.</value>
public override int Rank
{
get
{
return S.Count(t => !Math.Abs(t).AlmostEqual(0.0f));
}
}
public override double L2Norm
{
get{return Math.Abs(S[]);}
} public override float ConditionNumber
{
get
{
var tmp = Math.Min(U.RowCount, VT.ColumnCount) - ;
return Math.Abs(S[]) / Math.Abs(S[tmp]);
}
}
/// <summary>计算行列式 </summary>
public override float Determinant
{
get
{
if (U.RowCount != VT.ColumnCount)
{
throw new ArgumentException(Resources.ArgumentMatrixSquare);
} var det = 1.0;
foreach (var value in S)
{
det *= value;
if (Math.Abs(value).AlmostEqual(0.0f))
{
return ;
}
}
return Convert.ToSingle(Math.Abs(det));
}
}
}
3.Math.NET计算矩阵秩的代码
上述过程和原理只是便于大家理解其实现过程，下面简单演示一下在Math.NET中计算矩阵秩的过程，就是直接调用计算即可。
// 格式设置
var formatProvider = (CultureInfo)CultureInfo.InvariantCulture.Clone();
formatProvider.TextInfo.ListSeparator = " "; //创建一个随机的矩阵
var matrix = new DenseMatrix();
var rnd = new Random();
for (var i = ; i < matrix.RowCount; i++)
{
for (var j = ; j < matrix.ColumnCount; j++)
{
matrix[i, j] = rnd.NextDouble();
}
} Console.WriteLine(@"Initial matrix");
Console.WriteLine(matrix.ToString("#0.00\t", formatProvider));
Console.WriteLine();
//1. 秩
Console.WriteLine(@"矩阵秩计算结果为：");
Console.WriteLine(matrix.Rank());
Console.WriteLine();
结果如下：
Initial matrix
DenseMatrix 5x5-Double
0.25 0.11 0.47 0.77 0.66
0.43 0.35 0.94 0.10 0.64
0.03 0.25 0.32 0.99 0.68
0.65 0.28 0.62 0.70 0.70
0.95 0.09 0.16 0.38 0.80 矩阵秩计算结果为：
4.资源
包括源代码以及案例都可以去官网下载，下载地址本系列文章的目录中第一篇文章:http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4264638.html,有介绍。由于源码很大，如果找不到相应的案例，可以进行搜索，可以比较快的找到相应的代码。